PROFILPELAJAR.COM

Модель Блека (іноді модель Блека-76) — це варіація моделі оцінки вартості опціонів Блека-Шоулза. Призначена для оцінки вартості облігаційних опціонів, верхніх і нижніх обмежень відсоткових ставок a також свопціонів. Вперше описана у статті Фішера Блека^[en] в 1976 році.

Модель Блека можна узагальнити класом моделей відомих як логнормальних форвардних моделей, які ще називають моделі LIBOR ринку.

Формула Блека

Формула Блека подібна до формули Блека-Шоулза для оцінки вартості опціонів, де замість тепеперішньої ціни (ціни спот) базового активу використовують дисконтовану ціну фючерсного контракту F.

Припустимо r безризикова відсоткова ставка і ціна ф'ючерсного контракту F(t) певного базового активу задається логнормальним розподілом зі сталою волатильністю σ. Тоді формула Блека задає ціну європейського кол опціону з часом до виконання T на ф'ючерсний контракт з ціною виконання K і часом поставки T' (де $T'\geq T$ ) як

c=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]

Відповідна ціна пут опціону

p=e^{-rT}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]

де

d_{1}={\frac {\ln(F/K)+(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}

d_{2}={\frac {\ln(F/K)-(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}},

та N(.) — функція розподілу нормально розподіленої випадкової величини.

Зауважте, що обидві ціни не залежать від T' навіть якщо T' більше ніж T. Це пояснюється тим, що ф'ючерсний контракт звіреється ринку і в результаті виплата здійснюється при виконанні опціону. Якщо розглянути опціон га форвардний контракт, що підписаний на час T' > T, то виплата не здійснюється аж до часу T' . Тому дисконтний множник $e^{-rT}$ змінюється множником $e^{-rT'}$ оскільки потрібно врахувати вартість грошей в часі. Різниця між форвардом і ф'ючерсом можна помітити при виведенні нижче.

Виведення та припущення

Формулу Блека можна легко отримати з формули Марґрабе, яка в свою чергу є простим і кмітливим застосуванням формули Блека-Шоулза.

Виплата кол опціону на ф'ючерсний контракт дорівнює max (0, F(T) — K). Можна розглянути обмінний (Марґрабе) опціон де за перший актив взяти $e^{-r(T-t)}F(t)$ , a за другий актив взяти безризикову облігацію за якою покупець отримує $1 в час T. Тоді кол опціон виконують в час T якщо перший актив вартує більше ніж K безризикових облігацій. Припущення Марґрабе виконуються для таких інструментів.

Залишається показати що перший інструмент є активом. Це можна показати розглянувши портфоліо утворене в час 0 купівлею форвардного контракту з доставкою в час T і продажем F(0) безризикових облігацій (зауважте, що при the визначеній нестохастичній відсотковій ставці вартість ф'ючерса і форварда однакова, тому тут все визначено). Далі в довільний час t можна позбутися облігації для форвардного контракту продаючи новий форвард з такою ж датою доставки щоб отримати різницю цін форвардів дисконтованих до теперішньої вартості: $e^{-r(T-t)}[F(t)-F(0)]$ . Ліквідучи F(0) безризикових облігацій, кожна вартістю $e^{-r(T-t)}$ , дає в результаті прибуток $e^{-r(T-t)}F(t)$ .

Див. також

Фінансова математика

Посилання

Обговорення

Bond Options, Caps and the Black Model [Архівовано 27 вересня 2011 у Wayback Machine.] Dr. Milica Cudina, University of Texas at Austin

Інструменти в мережі

Caplet And Floorlet Calculator Dr. Shing Hing Man, Thomson-Reuters' Risk Management
'Greeks' Calculator using the Black model, Razvan Pascalau, Univ. of Alabama

Джерела

Black, Fischer (1976). The pricing of commodity contracts, Journal of Financial Economics, 3, 167—179. (англ.)
Garman, Mark B. and Steven W. Kohlhagen (1983). Foreign currency option values, Journal of International Money and Finance, 2, 231—237. (англ.)
Miltersen, K., Sandmann, K. et Sondermann, D., (1997): «Closed Form Solutions for Term Structure Derivates with Log-Normal Interest Rates», Journal of Finance, 52(1), 409—430. (англ.)