Народився 8 грудня1996 року в місті Ганновер. Свою футбольну кар'єру Еггештайн почав в дитячій спортивній школі ганноверського району Ріклінген, але потім перейшов в юнацьку команду «Гафельзе». На початку 2011 року він перейшов в «Вердер», за який виступав у Бундеслізі (до 17 років). У сезоні 2012/13 цього турніру Максіміліан забив 14 м'ячів, ставши п'ятим у списку бомбардирів.
Починаючи з 2014 року він був переведений у другу команду, де грав під керівництвом Віктора Скрипника на позиції атакуючого півзахисника. Після переведення Скрипника в основну команду Еггештайн був включений до її складу і зумів дебютувати в Бундеслізі 29 листопада 2014 року, вийшовши на заміну на 83-й хвилині замість Левента Айчічека у матчі проти «Падерборна» (4:0)[1]. Станом на 17 червня 2019 року відіграв за бременський клуб 91 матч в національному чемпіонаті.
