Логарифмічно угнута функція

В опуклому аналізі, невід'ємна функція f : Rn → R+ є логарифмічно угнутою (або лог-угнутою) якщо її область визначення є опуклою множиною, і якщо вона задовольняє нерівність

для всіх x,y ∈ dom f і 0 < θ < 1. Якщо f — строго додатна, це те саме, що сказати, що логарифм функції, log ∘ f, є угнутим; тобто,

для всіх x,y ∈ dom f і 0 < θ < 1.

Прикладом лог-угнутих функцій є 0-1 індикаторні функції опуклих множин і функція Гауса.

Подібно, функція є лог-опуклою якщо вона задовольняє зворотній нерівності

для всіх x,y ∈ dom f і 0 < θ < 1.

Властивості

  • Лог-угнута функція, також є квазіугнутою. Це випливає з того факту, що логарифм є монотонною функцією, це означає, що його надрівневі множини (англ. superlevel set) є опуклими.[1]
  • Кожна угнута функція, яка є невід'мною на її області визначення є лог-угнутою. Однак, зворотнє твердження не завжди виконується. Прикладом може служити функція Гауса f(x) = exp(−x2/2), яка є лог-угнутою, оскільки log f(x) = −x2/2 є угнутою функцією від x. Але f не є угнутою оскільки друга похідна є додатною для |x| > 1:
  • З двох попередніх пунктів, угнутість лог-угнутість квазіугнутість.
  • Двічі диференційовна, невід'ємна функція з опуклою областю визначення є лог-угнутою тоді і тільки тоді, коли для всіх x, що задовольняють f(x) > 0,
,[1]
тобто
є
від'ємно визначеною. Для функції однією змінної, ця умова спрощується до

Операції, що зберігають лог-угнутість

  • Добуток лог-угнутих функцій також є лог-угнутою функцією. І справді, якщо f і g є лог-угнутими функціями, тоді log f і log g є угнутими за визначенням. Отже,
є угнутою, і звідси f g є лог-угнутою.
є лог-угнутою.
  • З цього випливає, що згортка зберігає лог-угнутість, оскільки h(x,y) = f(x-y) g(y) є лог-угнутою якщо f і g — лог-угнутими, і тому
є лог-угнутою.

Примітки

  1. ↑ а б Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe, Convex Optimization [Архівовано 28 лютого 2008 у Wayback Machine.] (PDF) Section 3.5

Read other articles:

Katedral Ragusa

Katedral RagusaKatedral Santo Yohanes PembaptisItalia: Cattedrale di S. Giovanni Battistacode: it is deprecated Katedral RagusaLokasiRagusa, SisiliaNegaraItaliaDenominasiGereja Katolik RomaArsitekturStatusKatedralStatus fungsionalAktifAdministrasiKeuskupanKeuskupan Ragusa Katedral Ragusa (Italia: Duomo di Ragusa, Cattedrale di San Giovanni Battistacode: it is deprecated ) adalah sebuah gereja katedral Katolik yang terletak di Ragusa, Sisilia, Italia. Katedral ini didedikasikan untuk Santo Yoh...

 

Åsa Regnér

Åsa Regnér Menteri Anak-Anak dan Lansia[1]PetahanaMulai menjabat 3 Oktober 2014Penguasa monarkiCarl XVI GustafPerdana MenteriStefan Löfven PendahuluMaria LarssonPenggantiPetahanaMenteri Kesetaraan Gender[1]PetahanaMulai menjabat 3 Oktober 2014Penguasa monarkiCarl XVI GustafPerdana MenteriStefan Löfven PendahuluMaria ArnholmPenggantiPetahana Informasi pribadiLahir1964Partai politikDemokrat SosialSunting kotak info • L • B Åsa Charlotte Regnér, asliny...

 

Kokuryūkai

KokuryūkaiTanggal pendirianTahun 1901PendiriRyōhei UchidaDidirikan diJepangTipePolitisiLokasiEtiopia, Turki, Maroko, di seluruh Asia Tenggara, Amerika Selatan, Eropa, Amerika SerikatBidangPolitik Perkumpulan Naga Hitam (Kyūjitai; 黑龍會; Shinjitai: 黒竜会code: ja is deprecated , Kokuryūkai) (Inggris: Black Dragon Societycode: en is deprecated , BDS) atau Perkumpulan Sungai Amur, adalah kelompok paramiliter ultranasionalis terkemuka di Jepang. Riwayat Ryōhei Uchida, pendiri Black Dr...

Viverone

Viveronecomune Viverone – VedutaPanorama viveronese dalla SP41 LocalizzazioneStato Italia Regione Piemonte Provincia Biella AmministrazioneSindacoRenzo Carisio (lista civica Per Viverone) dal 25-5-2014 TerritorioCoordinate45°25′29″N 8°03′16″E / 45.424722°N 8.054444°E45.424722; 8.054444 (Viverone)Coordinate: 45°25′29″N 8°03′16″E / 45.424722°N 8.054444°E45.424722; 8.054444 (Viverone) Altitudine310 m...

 

Cooper's hawk

Species of bird For the chain, see Cooper's Hawk Winery & Restaurants. This article may be too long to read and navigate comfortably. Consider splitting content into sub-articles, condensing it, or adding subheadings. Please discuss this issue on the article's talk page. (February 2023) Cooper's hawk Conservation status Least Concern  (IUCN 3.1)[1] Scientific classification Domain: Eukaryota Kingdom: Animalia Phylum: Chordata Class: Aves Order: Accipitriformes Family: Acc...

 

Trackhouse Racing

Trackhouse RacingPemilikTrackhouse Entertainment GroupKantor pusatWelcome, North CarolinaSeriNASCAR Cup SeriesMotoGPPembalapNASCAR Cup:1. Ross Chastain99. Daniel SuárezMotoGP:25. Raúl Fernández88. Miguel OliveiraSponsor1. AdventHealth, Casa Del Sol Tequila, ACM Awards, K1 Speed, Loyal Order of Moose, Howler Head99. Tootsie's Orchid Lounge, Freeway Insurance, CommScopeMotoGP:ApriliaPabrikanNASCAR Cup:ChevroletMotoGP:TBABerdiriNASCAR Cup:2020MotoGP:2024Sejarah dalam ajang NASCARLomba pertama...

WNYF-CD

Fox affiliate in Watertown, New York Not to be confused with WFNY-FM or WFNY. WNYF-CDWatertown, New YorkUnited StatesChannelsDigital: 35 (UHF)Virtual: 28BrandingFox 287 News (newscasts)ProgrammingAffiliations28.1: Fox28.2: MeTVOwnershipOwnerGray Television(Gray Television Licensee, LLC)Sister stationsWWNY-TVHistoryFirst air date2001 (as separate station)Former call signsFor canceled WNYF-LP:W25AB (1982–2001)WNYF-LP (2001–2002)WNYF-CA (2002–2015)WNYF-CD:WNYF-CD (2008–2013)WNYF-LD (2013...

 

Leeds (UK Parliament constituency)

Parliamentary constituency in the United Kingdom, 1868–1885 LeedsFormer Borough constituencyfor the House of CommonsCountyWest Riding of YorkshireMajor settlementsLeeds1832–1885Seats1832–1868: Two1865–1885: ThreeCreated fromYorkshireReplaced byLeeds Central Leeds East Leeds North Leeds South Leeds West Leeds was a parliamentary borough covering the town of Leeds, in the West Riding of Yorkshire, England. It was represented in the House of Commons of the Parliament of the United Kingdo...

 

Occhio di Falco (Ultimate Marvel)

La rilevanza enciclopedica di questa voce o sezione sull'argomento Marvel Comics è stata messa in dubbio. Motivo: voce priva di fonti terze che dimostrino una rilevanza del personaggio al di fuori delle opere Puoi aiutare aggiungendo informazioni verificabili e non evasive sulla rilevanza, citando fonti attendibili di terze parti e partecipando alla discussione. Se ritieni la voce non enciclopedica, puoi proporne la cancellazione. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Per i...

Kate Hudson

Kate HudsonKate Hudson alla 69ª Mostra internazionale d'arte cinematografica di Venezia (2012) Nazionalità Stati Uniti GenerePopCountry Periodo di attività musicale2009 – in attività Strumentovoce, chitarra EtichettaHK music Album pubblicati1 Studio1 Modifica dati su Wikidata · Manuale Kate Garry Hudson (Los Angeles, 19 aprile 1979) è un'attrice e cantante statunitense. Ha ricevuto una candidatura agli Oscar come miglior attrice non protagonista nel 2001 p...

 

Hadron

Composite subatomic particle A hadron is a composite subatomic particle. Every hadron must fall into one of the two fundamental classes of particle, bosons and fermions In particle physics, a hadron (/ˈhædrɒn/ ⓘ; Ancient Greek: ἁδρός, romanized: hadrós; stout, thick) is a composite subatomic particle made of two or more quarks held together by the strong interaction. They are analogous to molecules, which are held together by the electric force. Most of the mass of ordina...

 

Micro T-Kernel

Real-time operating system for microcontrollers Operating system μT-KernelT-Kernel logoDeveloperT-Engine ForumWritten inC++, COS familyTRONWorking stateCurrentInitial release2002; 22 years ago (2002)Latest release3.00.07.B0 / December 1, 2023; 5 months ago (2023-12-01)Repositorygithub.com/tron-forum/mtkernel_3Marketing targetEmbedded systemsAvailable inJapanesePlatforms[1][2][3]Kernel typeReal-time operating system (RTOS)LicenseT-Li...

Mehdi Nawaz Jung

Nawab Mehdi Nawaz JungD.I., H’bad / Mei, 1952LahirSyed Mohammed Mehdi(1894-05-23)23 Mei 1894Darushifa, Hyderabad, Negara Bagian Hyderabad, British Raj (sekarang Telangana, India)Meninggal28 Juni 1967(1967-06-28) (umur 73)Hyderabad, Andhra Pradesh, India (sekarang Telangana, India)KebangsaanIndiaNama lainBaba MianPekerjaanBirokrat dan PolitikusDikenal atasKarya Sosial, Gerakan Kooperatif & Masalah Kesehatan. Nawab Mehdi Nawaz Jung (23 Mei 1894 – 28 Juni 1967) a...

 

Sandhill crane

Species of bird Sandhill crane Adult (front) and juvenile in Sarasota, Florida Conservation status Least Concern  (IUCN 3.1)[1] CITES Appendix II (CITES)[2][note 1] Scientific classification Domain: Eukaryota Kingdom: Animalia Phylum: Chordata Class: Aves Order: Gruiformes Family: Gruidae Genus: Antigone Species: A. canadensis Binomial name Antigone canadensis(Linnaeus, 1758) Subspecies Antigone canadensis canadensis(Linnaeus, 1758) Antigone canadensis p...

 

Deepest Purple: The Very Best of Deep Purple

1980 compilation album by Deep PurpleDeepest Purple: The Very Best of Deep PurpleCompilation album by Deep PurpleReleased4 July 1980[1]October 2010 (30th Anniv. Edition)Recorded1970–19741968–1975 (30th Anniv. Edition)GenreHard rock, heavy metalLength63:5879:09 (30th Anniv. Edition)LabelHarvest (Europe) Warner Bros. (US)ProducerDeep PurpleDeep Purple compilations chronology The Mark II Purple Singles(1979) Deepest Purple: The Very Best of Deep Purple(1980) The Anthology(19...

History of capitalism

This article has multiple issues. Please help improve it or discuss these issues on the talk page. (Learn how and when to remove these template messages) This article contains weasel words: vague phrasing that often accompanies biased or unverifiable information. Such statements should be clarified or removed. (May 2020) This article's lead section may be too short to adequately summarize the key points. Please consider expanding the lead to provide an accessible overview of all important as...

 

Valasaravakkam

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Valasaravakkam – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (August 2018) (Learn how and when to remove this message) Neighbourhood in Chennai district, Tamil Nadu, IndiaValasaravakkamNeighbourhoodValasaravakkamValasaravakkam(Chennai)Show map of ChennaiValasar...

 

Josef the Chaste (1953 film)

1953 film Josef the ChasteGerman film posterGermanDer keusche Josef Directed byCarl BoeseWritten by Franz Arnold (play Unter Geschäftsaufsicht) Ernst Bach (play Unter Geschäftsaufsicht) Vineta Bastian-Klinger StarringLudwig SchmitzWaltraut HaasRenate MannhardtCinematographyBruno TimmEdited byMargarete SteinbornMusic byHeino GazeProductioncompanyAlgefa FilmDistributed byConstantin FilmRelease date 26 June 1953 (1953-06-26) Running time94 minutesCountryWest GermanyLanguageGerma...

Marco Streller

Marco Streller BiografiKelahiran18 Juni 1981 (43 tahun)Basel Data pribadiTinggi195 cm KegiatanPekerjaanpemain sepak bola Periode aktif2000  –Membela negara (untuk olahraga)Swiss Olahragasepak bola LigaFußball-Bundesliga Posisi dalam timPenyerang Trayektori   Tim 2000–2004 FC Basel 1893 20(13)2001–2002→pinjaman a  FC Concordia Basel (en) 30(16)2002–2003→pinjaman a  FC Thun 16(8)2004–2007 VfB Stuttgart 55(9)2006–2006→pinjaman a  1. FC Köl...

 

بدر بن عبد المحسن آل سعود

بدر بن عبد المحسن آل سعود الأمير بدر بن عبد المحسن معلومات شخصية الميلاد 2 أبريل 1949   الرياض  الوفاة 4 مايو 2024 (75 سنة) [1]  باريس[1]  مكان الدفن مقبرة العود  مواطنة السعودية  عدد الأولاد 16   الأب عبد المحسن بن عبد العزيز آل سعود  عائلة آل سعود  الحياة...