Функція Лагранжа ${\displaystyle {\mathcal {L}}[\varphi _{i}]}$ фізичної системи — функція узагальнених координат ${\displaystyle \ \varphi _{i}(s)}$, що використовується у фізиці для побудови через певний варіаційний принцип рівнянь руху, які описують еволюцію фізичної системи. Наприклад рівняння руху класичної механіки в цьому підході отримуються з принципу найменшої дії, що записується як

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0}$

де дія ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ — функціонал, який визначається через функцію Лагранжа як

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]{}\,d^{n}s},}$

а ${\displaystyle \varphi _{i}}$ — узагальнені координати (наприклад, координати частинок або польові змінні),${\displaystyle \ s_{j}}$ означає множину параметрів системи, у випадку класичної механіки — незалежні просторові координати і час, а більш широко — також електричні або інші фізичні параметри.

Функцію Лангранжа називають також лагранжіаном, однак такий вжиток має жаргонний відтінок, оскільки зазвичай суфікс -іан застосовується до квантових аналогів класичних функцій — наприклад, функція Гамільтона — гамільтоніан, функція Лагранжа — лагранжіан. Лагранжіаном також часто називають густину функції Лагранжа (див. нижче).

Рівняння, отримані з прирівнювання до нуля функціональної похідної функціонала по всіх напрямках, ідентичні до звичайних рівнянь Ейлера-Лагранжа. Динамічні системи, рівняння для яких можуть бути отримані з принципу найменшої дії для зручно вибраної функції Лагранжа, відомі як динамічні системи Лагранжа.

Існує багато прикладів динамічних систем Лагранжа, починаючи з класичної версії Стандартної моделі в фізиці елементарних частинок і закінчуючи рівняннями Ньютона в класичній механіці. Також до цієї області відносяться чисто математичні проблеми, такі як задача знаходження геодезичних рівнянь і проблема Плато^[en].

Поняття назване на честь Жозефа Луї Лагранжа.

Поняття функції Лагранжа початково було введене для переформулювання класичної механіки у вигляді, відомому як механіка Лагранжа. В цьому контексті функція Лагранжа зазвичай береться у вигляді різниці кінетичної і потенціальної енергії механічної системи.

Для матеріальної точки у тривимірному просторі функція Лагранжа може бути записана у вигляді

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m{\dot {\vec {x}}}^{2}-V({\vec {x}}),}$

де похідна по часу позначається крапкою над диференційованою величиною, ${\displaystyle {\vec {x}}}$ — радіус-вектор частинки, m — її маса і V — потенціальна енергія. Тоді рівняння Ейлера-Лагранжа буде:

${\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V=0}$,

де ${\displaystyle \nabla }$ — градієнт.

Цей підхід еквівалентний до рівнянь Ньютона. Сила виражається через потенціал як :${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla V(x)}$.

Тоді рівняння

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\ddot {\vec {x}}}}$,

яке є аналогічним до рівняння Ньютона для тіла з постійною масою. Прості обчислення ведуть до виразу

${\displaystyle {\vec {F}}=d{\vec {p}}/dt}$,

що є записом другого закону Ньютона в узагальненій формі.

Для тривимірної системи зі сферичними координатами r, θ, φ з функцією Лагранжа

${\displaystyle {\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r)}$

можна отримати наступні рівняння Ейлера-Лагранжа:

${\displaystyle m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+V'=0,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0.}$

Для релятивістської частинки функція Лагранжа збігається зі швидкістю зростання довжини її світової лінії в просторі Мінковського або власного часу з точністю до сталого множника:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},}$

де v — звичайна тривимірна швидкість частинки, c — швидкість світла, m — маса частинки.

За допомогою цієї функції Лагранжа можна отримати рівняння класичної динаміки релятивістських частинок.

В теорії поля розрізняють функцію Лагранжа ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, через яку дія виражається як інтеграл тільки по часу

${\displaystyle S=\int {{\mathcal {L}}\,dt}}$

і густину функції Лагранжа ${\displaystyle \Lambda }$, яку потрібно інтегрувати по всьому чотиривимірному^[1] простору-часу:

${\displaystyle S[\varphi _{i}]=\int {\Lambda [\varphi _{i}(x)]\,d^{4}x}}$.

Тоді функція Лагранжа — це інтеграл по просторових змінних від густини функції Лагранжа.

І те, й інше часто називають лагранжіаном, останнім часом переважно саме густину функції Лагранжа ${\displaystyle \Lambda }$. Це корисно в релятивістських теоріях, оскільки густина функції Лагранжа визначена локально.

Квантові теорії поля у фізиці елементарних частинок, такі як квантова електродинаміка, зазвичай описуються в термінах ${\displaystyle \Lambda }$. Ця форма зручна, оскільки легко переводиться в правила, що використовуються для оцінки діаграм Фейнмана.

Електростатика (фізика статичних — тобто повільнозмінних) електричних полів, які можна (приблизно або точно) описати скалярним^[3] потенціалом і зарядженої речовини, що досить повільно рухається і, таким чином, підкоряється Ньютонівській механіці, може бути в цілому описана практично в рамках класичної механіки.

В класичній механіці лагранжіан це

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$

де T — кінетична енергія і V — потенціальна енергія.

Для зарядженої частинки масою m і зарядом q, що знаходиться в електричному (електростатичному) полі зі скалярним потенціалом φ, кінетична енергія задається виразом

${\displaystyle T_{s}={1 \over 2}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }$ — для однієї частинки (для багатьох береться сума).

Енергія взаємодії поля з зарядженою речовиною має вигляд

${\displaystyle V=q\phi \ }$ для одного точкового заряду (для багатьох сумується),

або

${\displaystyle V=\int \rho \phi \ dxdydz}$ — вигляд для неперервного розподілу заряду.

(І той і інший вигляд корисно виписати окремо, хоча, звичайно, вони зводяться один до одного, якщо використовувати дельта-функцію). Енергія поля входить в член кінетичної енергії разом з кінетичною енергією частинок^[4], записуючись як:

${\displaystyle T_{f}=\int {1 \over 2\varkappa }(\nabla \phi )^{2}dxdydz,}$

де ${\displaystyle \varkappa }$ — «силова константа», що входить в кінцевому варіанті в закон Кулона.

Таким чином, лагранжіан електростатики, що включає в себе і кінетичну енергію (повільного) руху заряджених частинок, має такий вигляд:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T_{f}-V+T_{s},}$

(кожен його член виписаний нижче).

• Звичайно, цей лагранжіан може бути при необхідності доповнений іншими членами, що описують неелектричні сили, наприклад, енергією пружності і т.ін.

Проваріювавши дію з описаним в цьому параграфі лагранжіаном^[5], легко отримати рівняння поля для електростатики (рівняння Пуассона):

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =-\varkappa \rho }$

і рівняння руху частинки в електростатичному полі (що в цілому збігається з отриманим в прикладі для класичної частинки на початку статті):

${\displaystyle m{\dot {\mathbf {v} }}=-q\nabla \phi .}$

У випадку електродинаміки доводиться користуватися вже не класичною потенціальною енергією, а узагальненою (залежною також від швидкостей) потенціальною енергією (енергією взаємодії):

${\displaystyle V=q\phi -{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} }$

або

${\displaystyle V=\int (\rho \phi -{1 \over c}\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} )dxdydz}$

де c — швидкість світла, v — швидкість частинки, j — вектор густини струму.

Енергія електромагнітного поля також повинна включати порівняно з випадком електростатики ще й енергію магнітного поля^[6]:

${\displaystyle T_{f}=\int {\frac {1}{2\varkappa }}(E^{2}-H^{2})dxdydz,}$

де E і H слідує вважати вираженими через електричний потенціал ф і векторний потенціал А:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},~~~~~~~\mathbf {H} =\mathbf {rot} \mathbf {A} }$.

Тоді електромагнітний лагранжіан запишеться у вигляді

${\displaystyle L=T_{f}-q\phi +{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} +T_{s}.}$

або

${\displaystyle L=T_{f}+\int (-\rho \phi +{1 \over c}\mathbf {j} \ \cdot \mathbf {A} )dxdydz+T_{s}.}$

Тут як лагранжіан речовини ${\displaystyle T_{s}}$ можна використовувати наближений вираз для повільних частинок, як описано в параграфі про електростатику, а можна використовувати (так як для електродинаміки, необмеженої повільними рухами, це актуально) релятивістський лагранжіан для швидких частинок

${\displaystyle T_{s}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}}}}$.

Як і у випадку електростатики, при необхідності до цього лагранжіану можуть бути дописані додаткові члени, що описують неелектромагнітні сили, інші поля і т.д, що, загалом, виходить за рамки задачі опису електромагнітного лагранжіану. Строго кажучи, виписування кінетичної енергії речовини також виходить за ці рамки, однак ми його виписали, щоб опис зберігав цілісність.

При варіюванні дії з цим лагранжіаном по ф і по ${\displaystyle A_{x},A_{y},A_{z}}$ (незалежно по кожному, використовуючи другу форму запису лагранжіану), виходять рівняння Максвела, а при варіюванні по координатах заряджених частинок — використовуючи першу форму запису — рівняння руху заряджених частинок в полі, що зводиться до:

${\displaystyle d\mathbf {p} /dt=\mathbf {F} _{L},}$,

де p — (тривимірний) імпульс частинки, ${\displaystyle \mathbf {F} _{L}}$ — сила Лоренца (включаючи електричний член).

Однак простіше і швидше таке виведення виходить в чотиривимірному формулюванні (див. далі).

В чотиривимірному формулюванні густина лагранжіану електромагнітного поля, його взаємодії з зарядженою речовиною і самої речовини виглядає так (використовуючи систему одиниць c=1):

${\displaystyle L={\frac {1}{4\varkappa }}F_{ik}F^{ik}+A_{i}j^{i}+L_{s}.}$

Другий член (що описує взаємодію) можна переписати так, що відповідна дія буде:

${\displaystyle S_{int}=-\int qA_{i}dx^{i}.}$

(Член ${\displaystyle L_{s}}$ — звичайна густина лагранжіану швидкої — в загальному випадку — частинки; явно її можна не виписувати, оскільки для класичної теорії вона не потрібна, так як для неї потрібен лагранжіан такої частинки, виписаний як завжди — див. вище — а не його густина).

Тут c — швидкість світла, ${\displaystyle F^{ik}}$ — тензор електромагнітного поля (в лагранжіан входить його згортка — квадрат), ${\displaystyle A_{i}}$ — 4-потенціал, ${\displaystyle j^{i}}$ — чотиривимірна густина струму, ${\displaystyle dx^{i}}$ — 4-переміщення; мається на увазі нотація Ейнштейна сумування по повторюваному індексу.

Варіюванням по ${\displaystyle A_{i}}$ легко отримуються рівняння Максвела в чотиривимірній формі:

${\displaystyle \partial _{i}F^{ik}=\varkappa j^{k}}$,

а варіюванням по ${\displaystyle x^{i}}$ — рівняння руху для частинки:

${\displaystyle dp_{i}/d\tau =qF_{ik}u^{k},\ }$

де ${\displaystyle p_{i}=mu_{i}}$ — 4-імпульс, ${\displaystyle u^{k}}$ — 4-швидкість.

Лагранжіан квантової теорії поля в принципі збігається з класичним, за винятком випадків, коли для деякої частини польових змінних важко ввести класичні аналоги або їх коректно інтерпретувати; хоча, і тоді зазвичай можна, хоча б чисто формально, отримати те, що називається класичним рівнянням руху, використавши замість тієї або іншої процедури квантування поля з даним лагранжіаном наближення стаціонарної фази (стаціонарної дії) — тобто знайшовши класичне наближення опису системи.

Таким чином, лагранжіани, виписані нижче, не є у визначеному сенсі специфічними тільки для квантової теорії відповідних полів; тим не менше вони в квантовій теорії поля використовуються, будучи в деякому відношенні її основою.

Густина лагранжіану для КЕД

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\!\not \!\!\!\,D-m)\psi -{1 \over 4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$

де ψ — біспінор, ${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ — його діраковське спряження, ${\displaystyle \!F^{\mu \nu }}$ — 4-тензор електромагнітного поля, D — калібрувальна коваріантна похідна, і ${\displaystyle \not \!\!\!\,D}$ — позначення Фейнмана для ${\displaystyle \!\gamma ^{\sigma }D_{\sigma }}$.

Густина лагранжіану для діраковського поля

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\!\not \!\!\!\;\partial -m)\psi }$.

Густина лагранжіану для квантової хромодинаміки [1] [Архівовано 9 липня 2011 у Wayback Machine.]

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{1 \over 4}F^{\alpha }{}_{\mu \nu }F_{\alpha }{}^{\mu \nu }-\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}(\not \!\!\!\,D_{\mu }+m_{n})\psi _{n}}$

де ${\displaystyle \!D_{\mu }}$ — калібрувальна коваріантна похідна КХД, и ${\displaystyle \!F^{\alpha }{}_{\mu \nu }}$ — тензор напруженості глюонного поля.

• Christoph Schiller (2005), Global descriptions of motion: the simplicity of complexity, Motion Mountain
• David Tong Classical Dynamics [Архівовано 14 квітня 2021 у Wayback Machine.] (Cambridge lecture notes)