Уродженець Манчестера (район Вітеншо), Коул тренувався у футбольній академії «Манчестер Сіті» з восьмирічного віку[3]. В основному складі «Сіті» дебютував 30 вересня 2020 року в матчі Кубка англійської ліги проти «Бернлі» (3:0)[4][5]. 27 жовтня 2020 року Палмер дебютував в Лізі чемпіонів, вийшовши на заміну Кевіну де Брейне в матчі групового етапу проти «Марселя» (3:0)[6]. Ці два матчі так і залишились єдиним для Кевіна за першу команду манчестерців того сезону, але Палмер паралельно грав і у молодіжній команді U-23, з якою став молодіжним чемпіоном Англії 2020/21.
У наступному сезоні Коул отримав вже більше ігрового часу у першій команді: він провів більшу частину матчу за Суперкубок, втім його команда програла «Лестер Сіті» 0:1 і не здобула трофей, а 21 серпня 2021 року дебютував у Прем'єр-лізі в матчі проти «Норвіч Сіті» (5:0)[7]. 19 жовтня Палмер забив свій перший гол у Лізі чемпіонів УЄФА, відзначившись через 120 хвилин після виходу на заміну в матчі бельгійським «Брюгге» (5:1)[8].
1 вересня 2023 року Палмер підписав семирічний контракт з клубом «Челсі» з можливістю продовження ще на один рік.[9] Повідомлялося, що початкова сума трансферу становила 40 мільйонів фунтів стерлінгів, потенційно збільшуючись на 2,5 мільйона фунтів стерлінгів. Він дебютував наступного дня, вийшовши на заміну на 62-й хвилині в матчі з «Ноттінгем Форест».[10] 7 жовтня Палмер забив свій перший гол за «Челсі», реалізувавши пенальті у виїзному матчі з «Бернлі».[11]
Кар'єра в збірній
Виступав за юнацькі збірні Англії до 15, до 16, до 17 і до 18 років .
У травні 2019 року в складі команди до 17 років взяв участь в чемпіонаті Європи серед юнаків[12], зігравши у всіх трьох матчах групового етапу, але англійці не змогли вийти з групи[13].
