Компактна група Лі — скінченновимірна група Лі, що є компактним топологічним простором. Цей тип груп Лі має велике значення оскільки багато з найважливіших у теорії і застосуваннях прикладів груп Лі є компактними, а також зважаючи на багато властивостей і їх класифікацію, яка прямо пов'язана з класифікацією напівпростих комплексних алгебр Лі.

Наступні приклади зв'язаних компактних груп Лі відіграють важливу роль в загальній структурній теорії компактних груп Лі, а також мають численні застосування у різних розділах математики і інших наук:

1. Мультиплікативна група ${\displaystyle T^{1}}$ всіх комплексних чисел, рівних по модулю 1.
2. Група ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ всіх комплексних унітарних матриць порядку n з визначником рівним 1 (спеціальна унітарна група).
3. Група ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ всіх дійсних ортогональних матриць порядку n з визначником рівним 1 (спеціальна ортогональна група).
4. Спінорна група ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$. Дана група є універсальним накриттям групи ${\displaystyle \operatorname {SO} (n).}$
5. Група ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ всіх матриць ${\displaystyle X\in \operatorname {SU} (2n)}$, що також є симплектичними матрицями, тобто для них виконується рівність ${\displaystyle X\Omega X^{T}=\Omega }$ де матриця ${\displaystyle \Omega }$ є блоковою матрицею виду

${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}}$

і Т — знак транспонування, а ${\displaystyle I_{n}}$ — одинична матриця порядку n. Група ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ називається симплектичною групою.

• На довільній компактній топологічній групі, що також є топологічним многовидом можна ввести структуру групи Лі.
• Кількість компонент зв'язності є скінченною.
• Якщо компактна група Лі є зв'язаною, то експонента є сюр'єктивним відображенням. Для довільних компактних груп Лі образом експоненти є компонента зв'язності одиничного елемента.
• Для довільного лінійного представлення ${\displaystyle (\pi ,V)}$ групи ${\displaystyle G}$ на скінченновимірному просторі ${\displaystyle V}$ можна обрати такий скалярний добуток, що всі лінійні перетворення ${\displaystyle \pi (V)}$ будуть унітарними (ортогональними для дійсних векторних полів).
• Алгебра Лі компактної групи може бути записана у виді прямої суми ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {z}}\oplus [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ де ${\displaystyle {\mathfrak {z}}}$ — центр алгебри, і форма Кіллінга є від'ємноозначеною на підалгебрі ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}].}$

Якщо ${\displaystyle G_{0}}$ — компонента зв'язності одиничного елемента компактної групи Лі ${\displaystyle G}$, то група компонент зв'язності ${\displaystyle G/G_{0}}$ є скінченною. Тобто ${\displaystyle G}$ є скінченним розширенням зв'язаної групи

${\displaystyle 1\to G_{0}\to G\to \pi _{0}(G)\to 1.\,}$

Таким чином задача класифікації компактних груп Лі зводиться до класифікації зв'язаних компактних груп Лі. Ця класифікація була здійснена у працях Елі Картана і Германа Вейля.

Усі зв'язані комутативні компактні групи Лі є торами тобто групами виду

${\displaystyle T^{n}=T^{1}\times T^{1}\times \ldots \times T^{1},}$

де в правій стороні є n множників.

Серед некомутативних компактних груп Лі особливе значення мають зв'язані напівпрості компактні групи Лі, тобто групи, що не мають нетривіальних нормальних абелевих підгруп або, еквівалентно алгебри Лі яких є напівпростими.

Якщо ${\displaystyle G}$ — зв'язана напівпроста компактна група Лі, то універсальне накриття ${\displaystyle {\bar {G}}}$ групи ${\displaystyle G}$ також є компактною групою Лі (теорема Вейля). Центр ${\displaystyle Z}$ групи ${\displaystyle {\bar {G}}}$ є скінченною множиною, а всі зв'язані групи Лі, що є локально ізоморфними групі ${\displaystyle G}$, є компактними і з точністю до ізоморфізму є групами виду ${\displaystyle {\bar {G}}/D}$, де ${\displaystyle D\subset Z.}$

Довільні зв'язані компактні групи Лі з точністю до ізоморфізму є факторгрупами виду:

${\displaystyle (K\times T)/D}$

де ${\displaystyle K}$ — зв'язана однозв'язна напівпроста компактна група Лі з центром ${\displaystyle Z}$, ${\displaystyle T}$ — тор, a ${\displaystyle D}$ — скінченна підгрупа в групі ${\displaystyle Z\times T}$ що перетинається з ${\displaystyle T}$ лише по одиниці.

Таким чином, класифікація зв'язаних компактних груп Лі зводиться до класифікації зв'язаних однозв'язних напівпростих компактних груп Лі (або, що те ж, напівпростих компактних алгебр Лі) і опису їх центрів.

Напівпрості компактні алгебри Лі знаходяться у взаємно однозначній відповідності з напівпростими комплексними алгебрами Лі (і тим самим з їх системами коренів). А саме, якщо ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — напівпроста компактна алгебра Лі, то її комплексифікація є напівпростою комплексною алгеброю Лі. Навпаки, для будь-якої напівпростої алгебри Лі над існує, і притому єдина з точністю до спряженості, компактна дійсна форма.

Остаточний результат класифікації простих компактних алгебр Лі та відповідних їм зв'язаних однозв'язних компактних груп Лі такий.

Є 4 нескінченних серії так званих класичних простих компактних алгебр Лі, які відповідають таким серіям незвідних наведених коренів:

${\displaystyle A_{n},\;n\geqslant 1;\;\;B_{n},\;n\geqslant 2;\;\;C_{n},\;n\geqslant 3;\;\;D_{n},\;n\geqslant 4.}$

Ці алгебри Лі є алгебрами Лі відповідно компактних груп ${\displaystyle \operatorname {SU} (n+1),\;\;}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n+1),\;\;}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n),\;\;}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n).\;\;}$

Крім них є ще лише п'ять так званих виняткових простих компактних алгебр Лі, що відповідають системам коренів типів ${\displaystyle G_{2}}$, ${\displaystyle F_{4}}$, ${\displaystyle E_{6}}$, ${\displaystyle E_{7}}$ і ${\displaystyle E_{8}}$. Будь-яка компактна проста алгебра Лі є ізоморфна одній з цих алгебр Лі, а самі вони є попарно неізоморфними одна одній.

Відповідно описані прості компактні групи Лі є усіма простими компактними однозв'язними групами Лі, а в попередній формулі ${\displaystyle (K\times T)/D}$ група ${\displaystyle K}$ є добутком скінченної кількості таких груп. Це завершує класифікацію

Будь-яка компактна група Лі є дійсною аналітичною групою. Комплексні компактні аналітичні групи називаються також комплексними компактними групами Лі. Всяка зв'язана комплексна компактна група Лі (як комплексна група Лі) ізоморфна комплексному тору ${\displaystyle \mathbb {C} /\Gamma }$ де ${\displaystyle \Gamma }$ — дискретна підгрупа рангу 2n в і (як дійсна група Лі) ізоморфна ${\displaystyle T^{2n}}$. Два комплексних тора ${\displaystyle \Gamma _{1},\Gamma _{2}}$ є ізоморфними (як комплексні групи Лі) тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \Gamma _{2}=g(\Gamma _{1})}$ для деякого ${\displaystyle g\in \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} ).}$

• Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970
• Bröcker, T.; tom Dieck, T. (1985), Representations of Compact Lie Groups, Graduate Texts in Mathematics, т. 98, Springer, ISBN 3540136789 
• Dieudonné, J. (1977), Compact Lie groups and semisimple Lie groups, Chapter XXI, Treatise on analysis, т. 5, Academic Press, ISBN 012215505X 
• Fegan, Howard D (1991), Introduction To Compact Lie Groups, Series in Pure Mathematics, World Scientific, ISBN 9810236867 
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (вид. 2nd), Springer, ISBN 0-387-40122-9 
• John F. Price (1977), Lie groups and compact groups, London Mathematical Society lecture note series, т. 25, Cambridge University Press, ISBN 9780521213400 
• Sepanski, Mark R. (2007), Compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics, т. 235, Springer, ISBN 0387302638