Коваріантна похідна — узагальнення поняття похідної для тензорних полів на многовидах. Поняття коваріантної похідної тісно пов'язане з поняттям афінної зв'язності.

Коваріантна похідна тензорного поля ${\displaystyle T}$ у напрямку дотичного вектора ${\displaystyle {\mathbf {v} }}$ зазвичай позначається ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }T}$.

Поняття коваріантної похідної дозволяє визначити диференціювання тензорних полів у напрямку дотичного вектора будь-якого многовиду. Подібно до похідної за напрямком, коваріантна похідна ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }}$ в якості аргументів приймає: (1) вектор ${\displaystyle \mathbf {u} }$, визначений в якійсь точці ${\displaystyle P}$, і (2) векторне поле ${\displaystyle \mathbf {v} }$, визначене в околі ${\displaystyle P}$. Результатом є вектор ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }\left(P\right)}$, так само визначений в ${\displaystyle P}$. Основна відмінність від похідної за напрямком полягає в тому, що ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }}$ повинна не залежати від вибору системи координат.

Будь-вектор може бути представлений як набір чисел, що залежить від вибору базису. Вектор як геометричний об'єкт не змінюється при зміні базису, в той час як компоненти його координатного представлення змінюються відповідно до коваріантного перетворення, залежного від перетворення базису. Коваріантна похідна повинна підкорятися цьому ж коваріантному перетворенню.

У разі евклідового простору похідна векторного поля часто визначається як границя різниці двох векторів, визначених у двох прилеглих точках. У цьому випадку один з векторів можна перемістити в початок іншого вектора за допомогою паралельного перенесення, і потім зробити віднімання. Таким чином, найпростішим прикладом коваріантної похідної є покомпонентне диференціювання в ортонормованій системі координат.

У загальному ж випадку необхідно врахувати зміну базисних векторів при паралельному перенесенні. Приклад: коваріантна похідна, записана в полярних координатах двомірного евклідового простору, містить додаткові складові, які описують «обертання» самої системи координат при паралельному перенесенні. В інших випадках формула коваріантної похідної може включати в себе члени, що відповідають стисненню, розтягуванню, крученню, переплетенню і іншим перетворенням довільної криволінійної системи координат.

Як приклад, розглянемо криву ${\displaystyle \gamma \left(t\right)}$, визначену на евклідовій площині. У полярних координатах крива може бути виражена через полярні кут і радіус ${\displaystyle \gamma \left(t\right)={\big (}r\left(t\right),\,\theta \left(t\right){\big )}}$. У довільний момент часу ${\displaystyle t}$ радіус-вектор може бути представлений через пару ${\displaystyle ({\mathbf {e} }_{r},{\mathbf {e} }_{\theta })}$, де ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{r}}$ і ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{\theta }}$ — одиничні вектори, дотичні до полярної системи координат, які утворюють базис, що служить для розкладання вектора на радіальну і дотичну компоненти. При зміні параметра ${\displaystyle t}$ виникає новий базис, який є ні чим іншим як повернутим старим базисом. Дане перетворення виражається як коваріантна похідна базисних векторів, теж відоме як символи Крістофеля.

У криволінійному просторі, яким є, наприклад, поверхня Землі, не визначений однозначне паралельне перенесення, а відповідна операція паралельного перенесення вектора з однієї точки в іншу залежить від вибору траєкторії. Дійсно, уявімо вектор ${\displaystyle {\mathbf {e} }}$, визначений в точці ${\displaystyle Q}$ (що лежить на екваторі), і спрямований до північного полюса. Використовуючи паралельне перенесення, спершу перемістимо вектор уздовж екватора, не змінюючи його напрямку, потім піднімемо ${\displaystyle {\mathbf {e} }}$ уздовж будь-якого меридіана до північного полюсу, і опустимо назад до екватора вздовж іншого меридіана. Очевидно, що таке переміщення вектора уздовж замкнутого шляху на сфері змінить його орієнтацію. Подібний феномен викликаний кривиною поверхні глобуса і не спостерігається в евклідовому просторі. Він виникає на многовидах при переміщенні вектора уздовж будь-якого (навіть нескінченно малого) замкнутого контуру, що включає в себе рух уздовж як мінімум двох різних напрямків. В такому випадку межа інфінітезимального збільшення вектора є мірою кривини многовиду.

• Рашевский П. К. . Курс дифференциальной геометрии. 4-е изд. — М. : Гостехиздат, 1956. — 420 с.