Вихованець ДЮСШ РЦОП-БДУ. Перший тренер – Сергій Миколайович Лагун.
У 2006 році підписав професіональний контракт із клубом «Зірка-БДУ» та одразу зіграв 20 матчів у Першій лізі. 2007 року перейшов до мінського «Динамо». Грав у оренді у клубах «Барановичі» та «Верас» (Несвіж), де провів повноцінний сезон в основі. 21 грудня 2010 року підписав контракт із брестейським «Динамо»[2]. Розглядався як основний воротар, однак у третій половині сезону 2011 року програв конкуренцію Вадиму Деонасу, у сезоні 2012 року — Валерію Фомічову. У сезоні 2013 року став основним воротарем та зіграв у всіх 32 матчах чемпіонату.
У грудні 2013 року підписав дворічний контракт із «Гомелем»[3]. 22 березня 2014 року в кубковому матчі проти «Дніпра» припустився грубої помилки, через яку «Гомель» поступився з рахунком 1:2. Після цього основним воротарем команди став Микола Романюк, однак за деякий час Климович повернув собі місце в основі. Викликався до національної збірної Білорусії на вересневі матчі[4], але на поле не виходив.
У січні 2015 року перейшов до клубу «Мінськ»[5]. Став основним воротарем команди. У лютому 2016 року продовжив контракт із клубом[6]. У сезоні 2016 років зіграв у всіх матчах, допоміг команді зайняти четверте місце у чемпіонаті, встановив новий рекорд – 19 «сухих» матчів у чемпіонаті за один сезон. Визнаний найкращим воротарем чемпіонату Білорусі 2016[7].
3 січня 2017 року уклав контракт з мінським «Динамо». Після невдалої гри Сергія Ігнатовича у першому матчі сезону зайняв місце основного воротаря. 27 липня 2017 року помилки Климовича призвели до поразки в Лізі Європи від АЕКа (0:2), після чого Ігнатович повернувся до основного складу, а Климович став другим воротарем. Наприкінці сезону Андрій знову почав з'являтися на полі. У грудні 2017 року після закінчення контракту залишив «Динамо».
У серпні 2019 року футболіст перебрався до Росії, де підписав контракт із клубом «Оренбург»[9]. Став основним воротарем команди, але не врятував її від вильоту до ФНЛ у сезоні 2020/21. У червні 2021 року стало відомо, що «Оренбург» не продовжить контракт з голкіпером[10].
У липні 2021 року перейшов до краснодарської «Кубані», яка вийшла до ФНЛ[11].
Кар'єра в збірній
У серпні 2014 року викликаний до національної збірної, проте не дебютував за неї[12]. Пізніше викликався до збірної як третій воротар. 12 червня 2017 року дебютував у збірній, провів усі 90 хвилин у товариському матчі проти Нової Зеландії (1:0).
