Народився 2 квітня2000 року в місті Мюнхен. Вихованець юнацьких команд футбольних клубів «Мюнхен 1860», «Фюрстенфельдбрук» та «Баварія». З 2019 року став виступати за команду «Баварія II», в якій провів два сезони, взявши участь у 42 матчах Третього ліги Німеччини.
10 квітня 2021 року Станішич дебютував за першу команду у Бундеслізі в матчі з клубом «Уніон Берлін» (1:1), зігравши на нерідній позиції лівого захисника[3], втім надалі продовжив грати за дубль. 1 липня 2021 року Станішич підписав перший контракт з Баварією до 2023 року[4].
Коли влітку 2021 року мюнхенців очолив Юліан Нагельсманн, він за результатами передсезонних зборів перевів Станішича до першої команди[5][6][7][8] і 13 серпня 2021 року у першому турі Бундесліги Йосип вийшов у стартовому складі правим захисником на матч з менхенгладбаською «Боруссією» (1:1)[9][8]. Через чотири дні він був знову був у стартовому складі, цього разу у грі Суперкубка Німеччини, де допоміг команді перемогти «Боруссію» (Дортмунд) з рахунком 3:1 і виграти перший в кар'єрі Станішича трофей[10][11][8]. Станом на 14 серпня 2021 року відіграв за мюнхенський клуб 4 матчі в національному чемпіонаті.
Виступи за збірну
Йосип Станішич має німецьке та хорватське громадянство і вирішив грати за Німеччину, зігравши у листопаді 2018 року у двох іграх за юнацьку збірну Німеччини до 19 років на товариському турнірі у Вірменії[12].
