Свою футбольну кар'єру футболіст почав в місцевому ФК «Комаром». Незабаром почалася війна, і Золтан пішов на фронт. Після повернення Цибор став виступати за ФК «Комаром», але пізніше його запросили виступати за молодіжну національну команду.
Після декількох ігор за молодіжну команду Золтана зауважив ФК «Ференцварош», після чого футболіст в 1948 році перейшов в команду клубу. У 1949 році в складі команди Цибор виграв чемпіонат Угорщини. Потім він недовго виступав за ФК «Чепель».
У 1953 році футболіст перейшов у «Гонвед». Всього у складі команди Золтан відіграв 175 матчів і забив 100 голів. У жовтні 1956 року в Угорщині відбулася антикомуністична революція. Через тиждень після її початку, 29 жовтня, «Гонвед» відправився на матч Кубку європейських чемпіонів проти «Атлетіка» з Більбао. Звістка про радянське вторгнення в Угорщину застала футболістів у Відні. Перший матч баски виграли 3-2, а другий, який відбувся на нейтральному полі в Брюсселі, закінчився бойовою нічиєю 3-3. Гравці «Гонведа» вирішили не повертатися в комуністичну Угорщину, за що отримали дворічну дискваліфікацію.
У Західній Європі в 1956 році Золтан почав грати в ФК «Рома». Пізніше футболіста запросили виступати за «Барселону», де 19 березня 1958 року відбувся його перший матч за команду. Всього за футбольний клуб Золтан відіграв три сезони.