Народився 20 травня1989 року в місті Бланчардстаун. Вихованець юнацьких команд футбольних клубів «Шелбурн» та «Селтік». Він дебютував за «кельтів» 17 грудня 2009 року в матчі Ліги Європи проти австрійського «Рапіда» (3:3)[1], втім цей матч так і залишився єдиним у складі цієї команди[2], через що Грем грав на правах оренди у складі команд «Богеміан», «Сент-Міррен» та «Гаддерсфілд Таун».
8 липня 2011 року Кері знову став гравцем «Сент-Міррена»[3], цього разу на повноцінній основі і 2013 року став з клубом володарем Кубка шотландської ліги[4]. Після цього Кері перейшов до іншої шотландської команди «Росс Каунті», де провів ще два сезони.
2 липня 2015 року Кері підписав контракт з англійським клубом «Плімут Аргайл»[5]. Він забив свій перший гол у своєму дебютному матчі за новий клуб проти «Вімблдона» (2:0) і провів чудовий сезон з 12 голами в 46 іграх, через що був визнаний найкращим гравцем року у команді[6]. Він також включений до складу символічної збірної Другої ліги Англії сезону після 15 голів та 15 передач у всіх турнірах[7]. 2017 року Грем допоміг команді вийти до Першої ліги, де провів ще два сезони. У всіх змаганнях Кері за чотири сезони у клубі зіграв 200 матчів, забив 49 голів та віддав 58 результативних передач[8][9].
11 червня 2019 року на правах вільного агента перейшов до ЦСКА (Софія). З командою став володарем Кубка Болгарії 2020/21. Станом на 25 серпня 2021 року відіграв за армійців з Софії 51 матч в національному чемпіонаті.
Виступи за збірну
Протягом 2009—2010 років залучався до складу молодіжної збірної Ірландії. На молодіжному рівні зіграв у 6 офіційних матчах, забив 1 гол.
