Аксіоми Армстронга — множина аксіом (або, точніше, правил висновування), що використовуються для висновування всіх функціональних залежностей у реляційній базі даних. Їх розробив Вільям В. Армстронг^[en] у своїй газетній статті 1974 року^[1]. Аксіоми правильні в генеруванні тільки функціональних залежностей у замиканні множини функціональних залежностей (позначеному ${\displaystyle F^{+}}$), коли застосовані до цієї множини (позначеній ${\displaystyle F}$). Також вони повні в тому, що повторне застосування цих правил генеруватиме всі функціональні залежності в замиканні ${\displaystyle F^{+}}$.

Формальніше, нехай ${\displaystyle \langle R(U),F\rangle }$ позначає реляційну схему над множиною атрибутів ${\displaystyle U}$ зі множиною функціональних залежностей ${\displaystyle F}$. Скажемо, що функціональна залежність ${\displaystyle f}$ логічно слідує з ${\displaystyle F}$, і позначимо це ${\displaystyle F\models f}$, якщо й тільки якщо для кожного примірника ${\displaystyle r}$ із ${\displaystyle R}$, що задовольняє функціональні залежності в ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle r}$ також задовольняє ${\displaystyle f}$. Позначимо ${\displaystyle F^{+}}$ множину всіх функціональних залежностей, які логічно слідують із ${\displaystyle F}$.

Більше того, з повагою до множини правил висновування ${\displaystyle A}$, скажемо, що функціональна залежність ${\displaystyle f}$ є похідною з функціональних залежностей у ${\displaystyle F}$ за множиною правил висновування ${\displaystyle A}$, і позначимо це ${\displaystyle F\vdash _{A}f}$, якщо й тільки якщо ${\displaystyle f}$ можна отримати шляхом повторного застосування правил висновування в ${\displaystyle A}$ до функціональних залежностей у ${\displaystyle F}$. Позначимо ${\displaystyle F_{A}^{*}}$ множину всіх функціональних залежностей, які є похідними від ${\displaystyle F}$ за правилами висновування в ${\displaystyle A}$.

Тоді множина правил висновування ${\displaystyle A}$ правильна, якщо й тільки якщо має місце наступне:

${\displaystyle F_{A}^{*}\subseteq F^{+}}$

інакше кажучи, ми не можемо вивести за допомогою ${\displaystyle A}$ функціональні залежності, які логічно не слідують з ${\displaystyle F}$. Множину правил висновування ${\displaystyle A}$ називають повною, якщо має місце наступне:

${\displaystyle F^{+}\subseteq F_{A}^{*}}$

простіше кажучи, ми здатні вивести за ${\displaystyle A}$ всі функціональні залежності, які логічно слідують із ${\displaystyle F}$.

Нехай ${\displaystyle R(U)}$ — схема відношення над множиною атрибутів ${\displaystyle U}$. Надалі позначатимемо літерами ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$ будь-яку підмножину ${\displaystyle U}$, а, для стислості, об'єднання двох множин атрибутів ${\displaystyle X}$ та ${\displaystyle Y}$ як ${\displaystyle XY}$ замість звичайного ${\displaystyle X\cup Y}$; ця нотація є достатньо стандартною в теорії баз даних^[en] при роботі зі множинами атрибутів.

Якщо ${\displaystyle X}$ — множина атрибутів, а ${\displaystyle Y}$ — підмножина ${\displaystyle X}$, то ${\displaystyle X}$ вміщує ${\displaystyle Y}$. Тоді ${\displaystyle X}$ вміщує ${\displaystyle Y}$ [${\displaystyle X\to Y}$] означає, що ${\displaystyle X}$ функціонально визначає ${\displaystyle Y}$.

Якщо ${\displaystyle Y\subseteq X}$, то ${\displaystyle X\to Y}$.

Якщо ${\displaystyle X}$ вміщує ${\displaystyle Y}$, а ${\displaystyle Z}$ — множина атрибутів, то ${\displaystyle XZ}$ вміщує ${\displaystyle YZ}$. Це означає, що атрибут у залежностях не змінює основних залежностей.

Якщо ${\displaystyle X\to Y}$, то ${\displaystyle XZ\to YZ}$ для будь-якого ${\displaystyle Z}$.

Якщо ${\displaystyle X}$ вміщує ${\displaystyle Y}$, а ${\displaystyle Y}$ вміщує ${\displaystyle Z}$, то ${\displaystyle X}$ вміщує ${\displaystyle Z}$.

Якщо ${\displaystyle X\to Y}$ та ${\displaystyle Y\to Z}$, то ${\displaystyle X\to Z}$.

Ці правила можуть виводитися від вищенаведених аксіом.

Якщо ${\displaystyle X\to YZ}$, то ${\displaystyle X\to Y}$ та ${\displaystyle X\to Z}$.

1. ${\displaystyle X\to YZ}$	(Дано)
2. ${\displaystyle YZ\to Y}$	(Рефлексивність)
3. ${\displaystyle X\to Y}$	(Транзитивність 1 і 2)

Якщо ${\displaystyle X\to Y}$ та ${\displaystyle A\to B}$, то ${\displaystyle XA\to YB}$.

1. ${\displaystyle X\to Y}$	(Дано)
2. ${\displaystyle A\to B}$	(Дано)
3. ${\displaystyle XA\to YA}$	(Доповнення 1 і A)
4. ${\displaystyle XA\to Y}$	(Декомпозиція 3)
5. ${\displaystyle XA\to XB}$	(Доповнення 2 і X)
6. ${\displaystyle XA\to B}$	(Декомпозиція 5)
7. ${\displaystyle XA\to YB}$	(Об'єднання 4 і 6)

Якщо ${\displaystyle X\to Y}$ та ${\displaystyle X\to Z}$, то ${\displaystyle X\to YZ}$.

Якщо ${\displaystyle X\to Y}$ та ${\displaystyle YZ\to W}$, то ${\displaystyle XZ\to W}$.

1. ${\displaystyle X\to Y}$	(Дано)
2. ${\displaystyle YZ\to W}$	(Дано)
3. ${\displaystyle XZ\to YZ}$	(Доповнення 1 і Z)
4. ${\displaystyle XZ\to W}$	(Транзитивність 3 і 2)

${\displaystyle I\to I}$ для будь-якої ${\displaystyle I}$. Це слідує прямо з аксіоми рефлексивності.

Наступна властивість є особливим випадком доповнення, коли ${\displaystyle Z=X}$.

Якщо ${\displaystyle X\to Y}$, то ${\displaystyle X\to XY}$.

Екстенсивність може замінити доповнення як аксіому в сенсі, що доповнення може бути доведене з екстенсивності разом з іншими аксіомами.

1. ${\displaystyle XZ\to X}$	(Рефлексивність)
2. ${\displaystyle X\to Y}$	(Дано)
3. ${\displaystyle XZ\to Y}$	(Транзитивність 1 і 2)
4. ${\displaystyle XZ\to XYZ}$	(Екстенсивність 3)
5. ${\displaystyle XYZ\to YZ}$	(Рефлексивність)
6. ${\displaystyle XZ\to YZ}$	(Транзитивність 4 і 5)

Дано множину функціональних залежностей ${\displaystyle F}$, відношення Армстронга — відношення, яке задовольняє всім функціональним залежностям у замиканні ${\displaystyle F^{+}}$ й тільки цим залежностям. На жаль, мінімальний розмір відношення Армстронга для даної множини залежностей може бути експоненційною функцією від кількості атрибутів у залежностях, які розглядаються^[2].

• UMBC CMSC 461 Spring '99. Архів оригіналу за 27 вересня 2011. Процитовано 11 серпня 2020.
• CS345 Lecture Notes from Stanford University. Архів оригіналу за 20 вересня 2006. Процитовано 11 серпня 2020.