Matematikte permütasyon, n elemanlı bir kümenin k elemanlı alt kümelerinin (kendi içinde) k kere yer değiştirme sayısıdır.
1'den 10'a kadar olan doğal sayıları içeren n elemanlı kümede r = 4 olarak alınırsa permütasyonların sayısı {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} kümesinden sırayı da gözetmek suretiyle oluşturulabilecek dört değişik elemanlı kümelerin sayısını ifade eder.
Permütasyonların hesaplanması
Permütasyonun kombinasyondan farkı, sıralamanın önemli olmasıdır.
Tekrarsız
Tekrarsız permütasyonda her eleman sadece bir kez kullanılabilir.
n elemanlı bir kümeden seçilen r elemanlı "tekrarsız" permütasyonların toplamı (n ≥ r olmak şartıyla) aşağıdaki formülle ifade edilir:
- Örnek
5 atın katıldığı bir yarışta seçilen 3 yarış atının "sırasıyla" birinci, ikinci ve üçüncü gelme olasılığı hesaplanırken bu formül kullanılabilir. Bir atın aynı yarışta iki kez birinci gelmesi mümkün değildir.
Seçilen sıralamanın doğru çıkma olasılığı 1/60'tır.
Tekrarlı
"Tekrarlı" permütasyonlar ise nr formülü ile ifade edilir.
Bu formül ile örneğin 3 haneli rakamsal bir çanta şifresinin permütasyonları (seçilebilecek toplam şifre adedi) hesaplanabilir. Her çemberde 0-9 arası 10 rakam olduğu için toplam şifre sayısı 10 x 10 x 10 = 103 = 1000'dir. Olası şifrelerin oluşturduğu seri 000, 001, 002 ... 997, 998, 999 şeklindedir. Yani rastgele denenen bir şifrenin çanta kilidini açma olasılığı 1/1000'dir.
Tekrarlı Permütasyon
n tane farklı elemanın n¹ tanesi aynı n² tanesi aynı, ..., n™ tanesi aynı iken
n¹ + n²+ ...+ n™ =n tane elemanın farklı sıralanışlarının sayısı
_______n!______
n¹ ! .n² !....n™ !
kadardır.
Bilgisayarla hesaplama
Oluşturulacak küme sıralı olduğundan dört değişik elemanın olası seçilme şekillerinin düşünülüp bu dörtlü dizilerin seçilme şekillerinin sayısı hesaplanmalıdır:
- 10 elemanlı kümeden seçebilecek on eleman vardır.
- Bir eleman seçildikten sonra bir daha seçilemediğinden, ikinci eleman seçilirken dokuz sayı kalır. Her ilk seçilen on eleman için dokuz ikinci eleman seçme imkânı olduğundan ikinci eleman 10 x 9 = 90 ayrı şekilde sıralanır.
Genelleştirilip n ve r değişkenleri ile ifade edilirse
- İlk eleman için
- İkinci eleman için
- r kadar eleman seçmek içinse adet seçenek vardır.
Örnekler
C kodunda permütasyon şu şekilde hesaplanabilir:
long permutasyon(const int n, const int r) {
int i;
long sonuc = 1;
for (i = 0; i < r; i++) {
sonuc = sonuc * (n - i);
}
return sonuc;
}
PHP kodunda şu şekilde bulunabilir:
function permutasyon($n,$r){
$sonuc = 1;
for((($i = ($n - $r) + 1)); $i <= $n; $i++){
$sonuc = $i*$sonuc;
}
return $sonuc;
}
permutasyon(7, 2); // 42
Python programlama dili
def permutasyon(n, r):
sonuc = 1
for i in range(r):
sonuc = sonuc * (n - i)
return sonuc
Ayrıca bakınız