Pascal üçgeni

Pascal üçgeni, matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. Fransız matematikçi Blaise Pascal'ın soyadıyla anılsa da Pascal'dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya'da matematikçiler tarafından çalışılmıştır.

Genellikle Pascal üçgeninin satırları üstten n=0'dan başlayarak numaralandırılır ve her satırdaki sayılar ise soldan itibaren k=0'dan başlayarak numaralandırılırlar. Satırdaki sayılar komşu sütunlarının boşluklarına gelir ve bu basit yapı tüm üçgen boyunca sürer. 0. satıra yalnızca 1 değeri yazılır. Sonraki satırlar oluşturulurken, hesaplanan noktanın sol üstünde ve sağ üstünde bulunan değerler çıkarılır. Eğer sağ ve sol üstünde sayı yoksa buradaki değer 1 olarak alınır. Örneğin, ilk satırın ilk sayısı 0 + 1 = 1'dir üçüncü satırda ise 4 ve 3 toplanarak 4. satırdaki 7 sayısını oluşturur.

Pascal kuralındaki binom katsayılarıyla ilişkili yapı aşağıdaki şekildeyse,

(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}

buradan

{n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}

olur.

Burada n negatif olmayan tam sayı ve k 0 ile n arasında bir tam sayıdır.

Pascal üçgeninin çok boyutlu şekilleri de vardır. 3 boyutlu olan şekli Pascal piramidi veya Paskal dörtyüzlüsü olarak anılırken diğer genel şekilli olanları Pascal basitleştirilmişleri olarak anılır.

Üçgendeki her sayı üst taraftaki iki sayının toplanmasıyla elde ediliyor.

Pascal'ın bu üçgeni, olasılıklar kuramında da ustalıkla kullanılır. Bu üçgen, biyolojideki uygulamalar, matematik, istatistik ve pek çok modern fizik konularında uygulama alanı bulur. (Bazı kaynaklara göre eski Çinliler de üçgeni tanımışlar; bazıları da Pascal üçgeni diye aslında bir Hayyam üçgeninden bahsetmişlerdir.)

Olasılıklar kuramının çıkış nedeni, Pascal'a kumarbaz Chevalier de Mere tarafından önerilmesiydi. En önemli görevi de elli iki kâğıt oyunu oynuyordu. Bu ara tavla zarlarının, şekilleri aynı olan ayrı renkli bilyelerin önemi büyüktür. Buna bağlı olarak, ünlü Pascal üçgeni doğdu. Pascal'ın bu üçgeni, daha sonraki yıllarda çok kullanıldı. Özellikle seri açılımları ve binom açılımı bu yöntemle kolaylıkla bulunur.

Formül: ${n \choose k}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}={\frac {n}{1}}\cdot {\frac {n-1}{2}}\cdot \ldots \cdot {\frac {n-k+1}{k}}$ , $n,k\in \mathbb {N} _{0}$ olmak üzere

Örneğin: ${5 \choose 3}={\frac {5!}{3!\cdot 2!}}={\frac {5\cdot 4\cdot 3!}{2!\cdot 3!}}={\frac {5\cdot 4}{2!}}={\frac {20}{2}}=10$
Üçgen sayılar

ikinci sıradan itibaren sağdan ya da soldan üçüncü sayı üçgen sayılardır

İkinin üsleri

pascal üçgeninin her satırı ikinin 0 dan itibaren üslerini verir

Binom açılımı

(a-b) veya (a+b) parantezlerinin açılımının katsayılarını verir örnek: $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

Yazı tura

Kaç parayla yazı tura attıysak o satırla ilgileneceğiz iki parayla yazı tura attık ikinci sıradaki sayıları toplayalım 4 çıktı ikinci sıra 1-2-1 dir birinci sıradan 2 tura 0 yazı diye sayalım iki paranın ikisinin de tura gelme şansı $1 \over 4$ 1tura 1yazı gelme şansı $1 \over 2$ 2yazı gelme şansı $1 \over 4$

g t d Blaise Pascal
Yenilikler Kariyer	Pascal'ın hesap makinesi Pascal yasası Pascal teoremi Pascal üçgeni Pascal'ın bahsi
Eserleri	Lettres provinciales (1656–1657) Pensées (1669)
Ailesi	Étienne Pascal (baba) Jacqueline Pascal (kız kardeş)
Kategori * Commons

Read other articles:

The Purpose Driven Church

Cover buku The Purpose Drive Church The Purpose Driven Church (1995) adalah sebuah buku yang ditulis oleh Rick Warren, seorang pendeta senior dan sekaligus pendiri dari Gereja Saddleback di Lake Forest, California, Amerika Serikat. Buku ini diluncurkan pada 1995, dengan sub judul Growth Without Compromising Your Message & Mission. Menurut Survey yang dilakukan oleh George Barna pada kalangan pelayan gereja dan pastor Amerika, buku ini dinyatakan sebagai buku kedua yang paling berpengaruh ...

Y Combinator

Artikel ini terlalu bergantung pada referensi dari sumber primer. Mohon perbaiki artikel ini dengan menambahkan sumber sekunder atau tersier. (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini) Y CombinatorJenisPerseroan terbatasIndustriVenture capitalDidirikanMaret 2005PendiriPaul Graham, Jessica Livingston, Robert Morris, Trevor BlackwellKantorpusatMountain View, California, United StatesCabang2 Kantor (2014)TokohkunciPaul Graham, Jessica Livingston, Robert Morris, Trevor Bl...

جامعة مطروح

جامعة مطروح معلومات التأسيس 2018 الموقع الجغرافي إحداثيات 31°20′43″N 27°18′45″E / 31.345166595725°N 27.312575141648°E / 31.345166595725; 27.312575141648[1] المكان محافظة مطروح البلد مصر[2] إحصاءات عضوية اتحاد الجامعات الإفريقية (2022)[3]الوكالة الجامعية الفرانكوفونية[4]&...

Dewan Perwakilan Rakyat Daerah Kabupaten Bengkulu Tengah

Dewan Perwakilan Rakyat Daerah Kabupaten Bengkulu TengahDewan Perwakilan RakyatKabupaten Bengkulu Tengah2019-2024JenisJenisUnikameral SejarahSesi baru dimulai9 September 2019PimpinanKetuaBudi Suryantono (NasDem) sejak 4 Oktober 2019 Wakil Ketua IPeri Haryadi, S.Sos. (PDI-P) sejak 4 Oktober 2019 Wakil Ketua IIEvi Susanti, S.IP. (Gerindra) sejak 4 Oktober 2019 KomposisiAnggota25Partai & kursi PDI-P (4) NasDem (4) Hanura (3) Perindo ...

Final Piala Liga Inggris 2006

Final Piala Liga Inggris 2006TurnamenPiala Liga Inggris 2005–2006 Manchester United Wigan Athletic 4 0 Tanggal26 Februari 2006StadionStadion Millennium, CardiffPemain Terbaik Wayne Rooney (Manchester United)[1]WasitAlan Wiley (Staffordshire)Penonton66.866CuacaUmumnya berawan6 °C (43 °F)[2]← 2005 2007 → Final Piala Liga Inggris 2006 adalah pertandingan final ke-46 dari turnamen sepak bola Piala Liga Inggris untuk menentukan juara musim 2005–2006. Per...

Petasos

Sun hat worn in Ancient Greece Hermes wearing a petasos. Coinage of Kapsa, Macedon, circa 400 BC A petasos (Greek: πέτασος) or petasus (Latin) is a broad brimmed hat of Thessalian origin worn by ancient Greeks, Thracians and Etruscans,[1] often in combination with the chlamys cape. It was made of wool felt, leather, straw or animal skin. Women's versions had a high crown while those for men featured a lower crown.[2] It was worn primarily by farmers, travellers and hunt...

Graphic Packaging

American packaging company Graphic Packaging InternationalCompany typePublic companyTraded asNYSE: GPKS&P 400 componentFounded1978 HeadquartersAtlanta , United States Key peopleMichael P. Doss (CEO)Number of employeesc. 24,000 (December 2022) Graphic Packaging International is a Fortune 500 corporation based in Sandy Springs, Georgia, United States.[1] It is a leading company in the design and manufacturing of packaging for commercial products.[2]...

コルク

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）出典検索?: コルク – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2017年4月）コルクを打ち抜いて作った瓶の栓コルク（木栓、�...

Renaissance World Tour

2023 concert tour by Beyoncé This article is about the concert tour. For its companion film, see Renaissance: A Film by Beyoncé. Renaissance World TourTour by BeyoncéPromotional poster for the tourLocation Europe North America Associated albumRenaissanceStart dateMay 10, 2023 (2023-05-10)End dateOctober 1, 2023 (2023-10-01)No. of shows56Attendance2.78 millionBox office$579 millionWebsitetour.beyonce.comBeyoncé concert chronology On the Run II Tour(2018) Renai...

2020年夏季奧林匹克運動會越南代表團

2020年夏季奥林匹克运动会越南代表團越南国旗IOC編碼VIENOC越南奧林匹克委員會網站www.voc.org.vn（英文）（越南文）2020年夏季奥林匹克运动会（東京）2021年7月23日至8月8日（受2019冠状病毒病疫情影响推迟，但仍保留原定名称）運動員18參賽項目11个大项旗手开幕式：阮輝煌（游泳）和郭氏兰（田径）[1]闭幕式：东京奥组委志愿者[2]历届奥林匹克运动会参赛记录（总...

Robert Hossein

Robert Hossein Robert Hossein, pseudonimo di Robert Hosseinhoff (Parigi, 30 dicembre 1927 – Essey-lès-Nancy, 31 dicembre 2020), è stato un attore, regista e sceneggiatore francese. Indice 1 Biografia 1.1 Giovinezza 1.2 Carriera nel cinema 1.3 Carriera teatrale 1.4 Vita privata 1.4.1 Famiglia 1.4.2 Religione 1.5 Morte 2 Filmografia 2.1 Attore 2.1.1 Cinema 2.1.2 Televisione 2.2 Regista 2.3 Produttore 2.3.1 Co-produttore 3 Doppiatori italiani 4 Onorificenze 4.1 Onorificenze francesi 4.2 Onor...

让·克雷蒂安

非常尊敬的讓·克雷蒂安Jean ChrétienPC OM CC KC 加拿大第20任總理任期1993年11月4日—2003年12月12日君主伊利沙伯二世总督Ray HnatyshynRoméo LeBlancAdrienne Clarkson副职Sheila Copps赫布·格雷John Manley前任金·坎貝爾继任保羅·馬田加拿大自由黨黨魁任期1990年6月23日—2003年11月14日前任約翰·特納继任保羅·馬田高級政治職位加拿大官方反對黨領袖任期1990年12月21日—1993年11月...

Lista de municípios fronteiriços do Brasil por área

Lista de municípios fronteiriços do Brasil por área, em ordem decrescente, baseada nos dados do IBGE.[1] Posição Município Unidade federativa Área (km²) 1 Barcelos Amazonas 122 475,728 2 São Gabriel da Cachoeira Amazonas 109 184,896 3 Oriximiná Pará 107 602,992 4 Atalaia do Norte Amazonas 76 354,985 5 Almeirim Pará 72 960,274 6 Corumbá Mato Grosso do Sul 64 960,863 7 Santa Isabel do Rio Negro Amazonas 62 ...

Qualia

Certain historical revisions of this page may meet criterion RD1 for revision deletion, as they contain significant copyright violations of https://plato.stanford.edu/archives/spr2024/entries/qualia-knowledge/ (Copyvios report), of https://iep.utm.edu/panpsych/ (Copyvios report) and of https://plato.stanford.edu/entries/qualia-knowledge/ (Copyvios report) that have been removed in the meantime. The revisions requested to be redacted are: 1227536726(Copyvios report) to 122768616...

Cardioïde

Construction de la cardioïde. La cardioïde est une courbe algébrique plane, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur un second cercle de même diamètre. Il s'agit donc d'une courbe cycloïdale dont la directrice est un cercle (ou épicycloïde). Étymologie et histoire Son nom vient du grec kardia (cœur), en référence à sa forme, et lui fut donné par Jean Castillon. D'abord étudiée comme un cas particulier du limaçon de Pascal, la première évocation d...

Murshidabad

City in West Bengal This article is about the town in West Bengal, India. For its namesake, see Murshidabad District. This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Murshidabad – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (November 2013) (Learn how and when to remove this message) City in West Bengal, Indi...

Querétaro

State of Mexico This article is about the state. For the city, see Querétaro City. For other uses, see Querétaro (disambiguation). State in Santiago de Querétaro, MexicoQuerétaro Ndämxei (Otomí)StateFree and Sovereign State of QuerétaroEstado Libre y Soberano de Querétaro (Spanish)Hyodi Ndämxei (Otomí)The Sierra Gorda of Querétaro FlagCoat of armsState of Querétaro within MexicoCoordinates: 20°35′N 100°23′W / 20.583°N 100.383°W / 20.583; -100.383Cou...

Manoscritto Yates Thompson 36

Yates Thompson 36manoscrittoEpoca1444-1450 Linguavolgare ProvenienzaToscana Supportopergamena Scritturagotico Dimensioni36,5 × 25,8 cm Fogli190 UbicazioneBritish Library ManualeIl Manoscritto Yates Thompson 36 (ms. Yates Thompson 36) è un codice della Divina Commedia di Dante Alighieri conservato alla British Library di Londra. Indice 1 Storia e descrizione 2 Note 3 Voci correlate 4 Collegamenti esterni Storia e descrizione Realizzato tra il 1444 e il 1450 per volontà del re...

تيري تيسو

تيري تيسو (بالفرنسية: Thierry Tusseau)‏ معلومات شخصية الميلاد 19 يناير 1958 (العمر 66 سنة)نوازي-لو-غران الطول 1.75 م (5 قدم 9 بوصة) مركز اللعب مدافع الجنسية فرنسا المسيرة الاحترافية1 سنوات فريق م. (هـ.) 1975–1983 نانت 237 (12) 1983–1986 جيروندان بوردو 92 (3) 1986–1988 راسينغ كولومب 49 (1) 1988–1991 س...

User talk:Reyk/Archive 2

This is an archive of past discussions. Do not edit the contents of this page. If you wish to start a new discussion or revive an old one, please do so on the current talk page. Archive 1 Archive 2 Problem with redirecting over prodding re your comment at Wikipedia:Articles for deletion/Frank Heineman - redirecting doesn't leave a log entry. I have noticed that some of my redirects have been reverted without any notification for me. At least if I prod something I can check my PROD log and s...

Cupak, Danau Kerinci, Kerinci

History of the Jews in Thailand

العلاقات الأندورية اليمنية

وزارة البترول والثروة المعدنية (مصر)

Izmail Oblast

Kura-Kura Ocean Park

Stuart Elliott (footballer, born 1977)

Mykola Kukharevych