Martingal sözü Türkçeye matematiksel anlamda yine aynı terimi kullanan İngilizce ve Fransızcadan Martingale sözüyle geçmiştir. Bu kavrama Türkçede karşılık bulmuş bir yerleşik bir terim yoktur.[1][2]
Olasılık teorisindeki martingal tanımını ilk defa 1934 yılında Paul Lévy literatüre sokmuştur; ancak, martingal sözünü kullanmamıştır. Martingal sözünü bu yönde tezinde kullanan Jean Ville (1939)[3] olmuştur ki o da Lévy'nin tanımını sürekli martingallere genişletmiştir. Martingalin matematiksel tanımını yine bu sözü kullanarak ilk defa Joseph Leo Doob vermiştir; Doob bu sözü Ville'in tezinde gördüğünden bir mülakatta bahsetmiştir.[4] Martingal teorisinin bu aşamadan sonraki gelişiminde Joseph Doob büyük pay sahibidir.
Martingal sözünün olasılık teorisinde yer alması büyük bir sürpriz değildir. Paul Lévy öncesinde de olasılık kavramlarına aşina olan matematikçiler bu kavramı şans oyunlarında her zaman kazanan bahis stratejisi anlamına olan martingal sözünden biliyorlardı. Bu bahis stratejilerinin en basiti yazı-tura atmadaki bahsi kazanasaya kadar durmadan ikiye katlama stratejisidir.
Martingal sözünün etimolojisi hakkında kesinlik yoktur.[5]
Tanım
Kesikli-zaman martingali
Bir rassal değişkenler dizisi 'e aşağıdaki koşullar sağlanırsa kesikli-zaman martingali ya da kesikli martingal denir:
;
.
Bir rassal değişkenler dizisinin başka bir rassal değişkenler dizisine göreceli olarak martingalini tanımlamak da mümkündür. Bu bağlamda yine başka bir rassal değişkenler dizisi olsun. Eğer ve aşağıdaki koşulları sağlarsa, o zaman dizisine 'e göre martingaldir denir.
;
.
Sürekli-zaman martingali
bir olasılık uzayı ve de bu uzayın gerçel sayılara bağlı () filtresi olsun. O zaman, bir stokastik sürecine, aşağıdaki koşullar sağlanırsa 'ye göre martingal denir:
Eğer, ise (yani doğal filtreleme ise), o zaman 'ye kısaca martingal denir.
Alt ve üst martingaller
ve rassal değişken dizileri verilmiş olsun. Aşağıdaki koşullar sağlanırsa, dizisine, 'e göre alt martingal denir.
Benzer bir şekilde, eşitsizlik aksi istimakette ise, dizisine, 'e göre üst martingal denir. Yani, aşağıdaki koşullar sağlanırsa, dizisi, 'e göre üst martingaldir:
Eğer , () bir stokastik süreçse, aşağıdaki koşullar sağlandığında stokastik sürecine 'ye göre alt martingal denir.
Her için, , 'ye göre ölçülebilirdir.
.
.
Benzer bir şekilde, eşitsizlik aksi istimakette ise, yani aşağıdaki koşullar sağlanırsa, o zaman stokastik sürecine 'ye göre üst martingal denir.
Her için, , 'ye göre ölçülebilirdir.
.
.
Eğer, ise (yani doğal filtreleme ise), o zaman stokastik sürecine sağladığı eşitsizlik koşuluna göre kısaca alt martingal ya da üst martingal denir.
Özellikler
Bir stokastik sürecin martingal olabilmesi için hem alt martingal hem de üst martingal olması gerekli ve yeterlidir.
Eğer martingalse, o zaman sabittir.
alt martingal ise, o zaman üst martingaldir.
Eğer alt (ya da üst) martingalse ve ise, o zaman de bir alt (ya da üst) martingaldir.
martingalse, de için martingaldir.
Eğer üst martingalse, o zaman de bir üst martingaldir.
Eğer alt martingalse, o zaman de bir alt martingaldir.
Genel olarak, bir martingal Markov süreci olmak zorunda değildir. Tersi ifade de genel olarak doğru değildir. Yani, bir Markov süreci genel olarak martingal olmak zorunda değildir.
Sürekli her martingalin ya sonsuz varyasyonu vardır ya da bu martingal sabittir.
Örnekler
Oyuncunun tura geldiğinde 1 lira kazandığı ama yazı geldiğinde 1 lira kaybettiği bir yazı-tura oyununu ele alalım.
Eğer oyun adil bir parayla oynanıyorsa, o zaman oyuncunun herhangi bir adımdaki kazancı (oynanmış oyun sayısının fonksiyonu olarak) martingaldir.
Eğer parada yazının gelme olasılığı daha yüksekse, o zaman oyuncunun herhangi bir adımdaki kazancı alt martingaldir.
Eğer parada turanın gelme olasılığı daha yüksekse, o zaman oyuncunun herhangi bir adımdaki kazancı üst martingaldir.
Eğer integrallenebilir bir rassal değikense ve olarak tanımlanırsa, , 'e göre bir martingaldir. Gerçekten de, olacaktır.
^Uluğ Çapar da kitabında (Çapar 2013) Türkçe’de yerleşik bir karşılığı olmadığını belirterek söyleyişe daha uygun bulduğu martengal kelimesini kullanılmıştır.
^YÖK Ulusal Tez Merkezi 9 Şubat 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.'nde 15 Eylül 2024 tarihinde martengal ya da martingal sözü altında yapılan aramalarda elde edilen sonuçlarda martingal sözü kullanımı daha baskın gözükmektedir.
Mansuy, Roger (June 2009). "The origins of the Word "Martingale""(PDF). Electronic Journal for History of Probability and Statistics. 5 (1). 31 Ocak 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi(PDF). Erişim tarihi: 22 Ekim 2011.