Matematikte maksimum-minimum eşitsizliği ya da maks-min eşitsizliği şunu ifade eder:

Her ${\displaystyle \ f:Z\times W\to \mathbb {R} \ }$ fonksiyonu için

${\displaystyle \sup _{z\in Z}\inf _{w\in W}f(z,w)\leq \inf _{w\in W}\sup _{z\in Z}f(z,w)\ .}$

eşitsizliği geçerlidir.

Eşitlik yakalandığı takdirde, f, W ve Z'nin güçlü maksimum-minimum özelliği ya da eyer noktası özelliği vardır denir.^[1] ${\displaystyle \ f(z,w)=\sin(z+w)\ }$ örneğinden de görüleceği üzere eşitlik her fonksiyon için ulaşılmayabilir.

f, W ve Z'nin üzerine koşullar ekleyip eyer noktası özelliğini veren bir minimum-maksimum teoremi de vardır.

${\displaystyle g(z)\triangleq \inf _{w\in W}f(z,w)\ }$ tanımlansın. Her ${\displaystyle z\in Z}$ için

${\textstyle g(z)\leq f(z,w)}$

eşitsizliği her ${\displaystyle w\in W}$ için, infimumun tanımı gereği alt sınır olması nedeniyle, sağlanır. Sonra, her ${\textstyle w\in W}$ için,

${\displaystyle f(z,w)\leq \sup _{z\in Z}f(z,w)}$

her ${\textstyle z\in Z}$ için, supremumun tanımı gereği üst sınır olması nedeniyle, sağlanır. Bu sebeple, her ${\displaystyle z\in Z}$ ve ${\displaystyle w\in W}$ için

${\displaystyle g(z)\leq f(z,w)\leq \sup _{z\in Z}f(z,w)}$

olur ki bu da ${\displaystyle w\in W}$ seçimi farketmeksizin

${\displaystyle h(w)\triangleq \sup _{z\in Z}f(z,w)}$

fonksiyonunun ${\displaystyle g(z)}$ için bir üst sınır olduğu anlamına gelir. Supremum en küçük sınır olduğu için

${\displaystyle \sup _{z\in Z}g(z)\leq h(w)}$

eşitsizliği tüm ${\displaystyle w\in W}$ için sağlanacaktır. Bu eşitsizlikten

${\displaystyle \sup _{z\in Z}g(z)}$

ifadesinin ${\displaystyle h(w)}$ fonksiyonunun alt sınırı olduğunu görüyoruz. İnfimum en büyük alt sınır olduğu için,

${\displaystyle \sup _{z\in Z}g(z)\leq \inf _{w\in W}h(w)}$

olur. Bütün hepsini bir araya getirirsek,

${\displaystyle \sup _{z\in Z}\inf _{w\in W}f(z,w)=\sup _{z\in Z}g(z)\leq \inf _{w\in W}h(w)=\inf _{w\in W}\sup _{z\in Z}f(z,w)}$

elde ederiz ki bu da istenen eşitsizliktir.

Minimaks teoremi