Adını aldığı August Ferdinand Möbius Yayın yılı 1832 Yayın yazarı August Ferdinand Möbius Bilinen terimlerin sayısı sonsuz İlk terimler 1, −1, −1, 0, −1, 1, −1, 0, 0, 1 OEIS indeksiA008683 Möbius (veya Moebius) fonksiyonu
μ μ -->
(
n
)
{\displaystyle \mu (n)}
μ μ -->
(
1
)
=
1
{\displaystyle \mu (1)=1}
μ μ -->
(
n
)
=
(
− − -->
1
)
k
{\displaystyle \mu (n)=(-1)^{k}}
μ μ -->
(
n
)
=
0
{\displaystyle \mu (n)=0}
Möbius fonksiyonu
μ μ -->
(
n
)
{\displaystyle \mu (n)}
August Ferdinand Möbius tarafından ortaya atılan çarpımsal bir fonksiyondur. Temel ve analitik sayılar teorisi 'nde çoğunlukla kullanılan fonksiyon, genellikle Möbius inversiyon formülü 'nün bir parçası olarak görülür. Gian-Carlo Rota 'nın 1960'lı yıllardaki çalışmaları sonucunda
μ μ -->
(
n
)
{\displaystyle \mu (n)}
Herhangi bir pozitif tam sayı
n
{\displaystyle n}
μ μ -->
(
n
)
{\displaystyle \mu (n)}
n inci köklerinin toplamını ifade eder.
μ μ -->
(
n
)
{\displaystyle \mu (n)}
n
{\displaystyle n}
{
− − -->
1
,
0
,
1
}
{\displaystyle \{-1,0,1\}}
Eğer
n
{\displaystyle n}
çift sayıda asal çarpanı olan kare içermeyen (herhangi bir asal sayının karesine bölünmeyen) bir sayı ise
μ μ -->
(
n
)
=
+
1
{\displaystyle \mu (n)=+1}
tek sayıda asal çarpanı olan kare içermeyen bir sayı ise
μ μ -->
(
n
)
=
− − -->
1
{\displaystyle \mu (n)=-1}
kare içeriyorsa
μ μ -->
(
n
)
=
0
{\displaystyle \mu (n)=0}
olur.
Möbius fonksiyonu alternatif olarak şu şekilde yazılabilir:
μ μ -->
(
n
)
=
δ δ -->
ω ω -->
(
n
)
Ω Ω -->
(
n
)
λ λ -->
(
n
)
{\displaystyle \mu (n)=\delta _{\omega (n)\Omega (n)}\lambda (n)}
Burada
δ δ -->
{\displaystyle \delta }
Kronecker deltasını ,
λ λ -->
(
n
)
{\displaystyle \lambda (n)}
Liouville fonksiyonunu (
(
− − -->
1
)
Ω Ω -->
(
n
)
{\displaystyle (-1)^{\Omega (n)}}
ω ω -->
(
n
)
{\displaystyle \omega (n)}
Ω Ω -->
(
n
)
{\displaystyle \Omega (n)}
Asal omega fonksiyonlarını ifade eder.
μ μ -->
(
n
)
{\displaystyle \mu (n)}
tam sayı için değerleri şu şekildedir:
n
{\displaystyle n}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
μ μ -->
(
n
)
{\displaystyle \mu (n)}
1
−1
−1
0
−1
1
−1
0
0
1
n
{\displaystyle n}
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
μ μ -->
(
n
)
{\displaystyle \mu (n)}
−1
0
−1
1
1
0
−1
0
−1
0
n
{\displaystyle n}
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
μ μ -->
(
n
)
{\displaystyle \mu (n)}
1
1
−1
0
0
1
0
0
−1
−1
n
{\displaystyle n}
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
μ μ -->
(
n
)
{\displaystyle \mu (n)}
−1
0
1
1
1
0
−1
1
1
0
n
{\displaystyle n}
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
μ μ -->
(
n
)
{\displaystyle \mu (n)}
−1
−1
−1
0
0
1
−1
0
0
0
Yukarıdaki değerlerin grafik üzerinde gösterimi aşağıdaki gibidir.
Möbius fonksiyonun ilk 50 değeri
Uygulamalar
Matematiksel seriler
Möbius fonksiyonunu üreten Dirichlet serisi , Riemann zeta fonksiyonunun çarpımsal tersidir. Eğer
s
{\displaystyle s}
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
μ μ -->
(
n
)
n
s
=
1
ζ ζ -->
(
s
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}
eşitliği sağlanır.
Bu eşitlik
1
/
ζ ζ -->
(
s
)
{\displaystyle 1/\zeta (s)}
Euler çarpımından da görülebilir:
1
ζ ζ -->
(
s
)
=
∏ ∏ -->
p
asal
(
1
− − -->
1
p
s
)
=
(
1
− − -->
1
2
s
)
(
1
− − -->
1
3
s
)
(
1
− − -->
1
5
s
)
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p{\text{ asal}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots }
İlgili seriler:
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
|
μ μ -->
(
n
)
|
n
s
=
ζ ζ -->
(
s
)
ζ ζ -->
(
2
s
)
{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}}
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
μ μ -->
(
n
)
ln
-->
n
n
=
− − -->
1
{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln n}{n}}=-1}
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
μ μ -->
(
n
)
ln
2
-->
n
n
=
− − -->
2
γ γ -->
{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma }
γ γ -->
{\displaystyle \gamma }
Euler-Mascheroni sabiti 'ni ifade etmektedir.)Möbius fonksiyonu için Lambert serisi :
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
μ μ -->
(
n
)
q
n
1
− − -->
q
n
=
q
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q}
|
q
|
<
1
{\displaystyle |q|<1}
Asal
α α -->
≤ ≤ -->
2
{\displaystyle \alpha \leq 2}
∑ ∑ -->
n
=
1
∞ ∞ -->
μ μ -->
(
α α -->
n
)
q
n
q
n
− − -->
1
=
∑ ∑ -->
n
≥ ≥ -->
0
q
α α -->
n
,
|
q
|
<
1.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}},|q|<1.}
Möbius fonksiyonu
μ μ -->
(
a
b
)
{\displaystyle \mu (ab)}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
aralarında asal ise çarpımsaldır (
μ μ -->
(
a
b
)
=
μ μ -->
(
a
)
μ μ -->
(
b
)
{\displaystyle \mu (ab)=\mu (a)\mu (b)}
n
{\displaystyle n}
d
{\displaystyle d}
μ μ -->
(
d
)
{\displaystyle \mu (d)}
∑ ∑ -->
d
|
n
μ μ -->
(
d
)
=
{
1
eğer
n
=
1
ise
0
eğer
n
>
1
ise
{\displaystyle \sum _{d\vert n}{\mu (d)}={\begin{cases}1&{\text{eğer }}n=1{\text{ ise}}\\0&{\text{eğer }}n>1{\text{ ise}}\end{cases}}}
Bu eşitlik Möbius inversiyon formülü 'nün temelini oluşturur ve
μ μ -->
{\displaystyle \mu }
aritmetik ve çarpımsal fonksiyonlar teorisindeki öneminin asıl nedeni budur.
μ μ -->
{\displaystyle \mu }
Pólya'nın sayma teoremi 'nin kullanımıyla beraber kombinatoryal gruplar ve kombinatoryal sayma ile bağlantılıdır.
Möbius fonksiyonu tarafından sağlanan bazı özdeşlikler:[ 1]
∑ ∑ -->
k
≤ ≤ -->
n
⌊
n
k
⌋
μ μ -->
(
k
)
=
1
{\displaystyle \sum _{k\leq n}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \mu (k)=1}
∑ ∑ -->
j
k
≤ ≤ -->
n
cos
-->
(
π π -->
(
j
k
− − -->
1
)
2
)
μ μ -->
(
k
)
=
1
{\displaystyle \sum _{jk\leq n}\cos \left({\frac {\pi (jk-1)}{2}}\right)\mu (k)=1}
Möbius fonksiyonunun ortalama değeri sıfırdır. Bu iddia, asal sayı teoremine eşittir.[ 2]
Mertens fonksiyonu
Sayılar teorisinde Möbius fonksiyonu ile yakından ilgili bir diğer fonksiyon her doğal sayı
n
{\displaystyle n}
Mertens fonksiyonu 'dur.
M
(
n
)
=
∑ ∑ -->
k
=
1
n
μ μ -->
(
k
)
{\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}{\mu (k)}}
Bu fonksiyon, Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları ile yakından bağlantılıdır. Bunun hakkında daha fazla bilgi için Mertens konjektürü sayfasına bakabilirsiniz.
μ μ -->
(
n
)
=
∑ ∑ -->
ebob
-->
(
k
,
n
)
=
1
1
≤ ≤ -->
k
≤ ≤ -->
n
e
2
π π -->
i
k
n
{\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {ebob} (k,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}}
eşitliğinden Mertens fonksiyonu şu şekilde yazılabilir:
M
(
n
)
=
− − -->
1
+
∑ ∑ -->
a
∈ ∈ -->
F
n
e
2
π π -->
i
a
.
{\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia}.}
Burada
F
n
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}
Farey dizisi 'nin n inci kümesini belirtmektedir. Bu eşitlik, Franel-Landau teoremi 'nin kanıtında kullanılmıştır.
