z0 'ı içeren, karmaşık düzleminaçık bir altkümesi U ile ve z0 'da esaslı tekilliği olan, U - {z0} üzerinde tanımlı holomorf bir f fonksiyonuyla başlayalım. Bu halde, Weierstrass-Casorati teoremi şunu ifade eder:
V, U içinde yer alan, 'ın bir komşuluğu ise, o zaman f(V - {z0}) C 'de yoğundur.
Ayrıca şu şekilde de ifade edilebilir:
herhangi bir ε > 0 ve karmaşık sayı w için, U 'da öyle bir z karmaşık sayısı vardır ki |z - z0| < ε ve |f(z) - w| < ε olur.
Teorem büyük ölçüde üstteki gösterimle f 'nin V içinde en fazla bir nokta istisnasıyla tüm karmaşık değerleri sonsuz kere aldığını ifade eden Picard'ın büyük teoremi ile güçlendirilmiştir.
Örnekler
f(z) = exp(1/z), z0 = 0'da esaslı tekilliğe sahiptir; ancak g(z) = 1/z3 'ün esaslı tekilliği yoktur (0'da bu fonksiyonun kutbu vardır).
fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun esaslı tekilliği olan etrafında şu Laurent serisi vardır.
olan tüm noktalar için
var olduğundan, 'nin 'ın komşuluğunda analitik olduğunu biliyoruz. Bu yüzden, diğer bütün esaslı tekillikler gibi korunmalı tekilliktir.
elde ederiz. Bu yüzden, olan değerleri için, iken olur ve için, iken olur.
Sanal eksene teğet olan çaplı çember üzerinde z değer alırsa neler olabileceğini düşünelim. Bu çember ile verilir. O zaman,
ve
olur. Bu yüzden, uygun bir R seçimi ile sıfır dışında bütün pozitif değerleri alır. Çember üzerinde oldukça, R sabit iken olur. Denklemin
parçası, birim çember üzerindeki bütün değerleri sonsuz kere alır. Bu yüzden f(z), karmaşık düzlemdeki sıfır dışındaki tüm değerleri sonsuz kere alır.
Kanıt
Teoremin kısa bir kanıtı şu şekildedir: f, delikli bir V - z0 komşuluğunda holomorf olsun ve z0 esaslı tekillik olsun. Ayrıca, f(V - {z0}), C 'de yoğun olmasın; yani f(V - {z0}) 'ın kapanışında yer almayan bir b olsun. O zaman, V - {z0} üzerinde tanımlı
fonksiyonu sınırlıdır ve bu yüzden V 'nin tümüne holomorf bir şekilde genişletilebilir. Böylece, V - {z0} üzerinde
olur.
limitinin iki çeşit durumunu ele alalım. Limit 0 ise, o zaman f 'nin z0 'da kutbu vardır. Limit 0 değilse, o zaman z0kaldırılabilir tekilliktir. Her iki olası sonuç da teoremin varsayımıyla çelişmektedir. Bu yüzden teorem doğrudur.