Matematikte, Bochner-Martinelli formülü, Cauchy integral formülünün birden fazla kompleks değişkenli fonksiyonlara yönelik genellemelerinden birisidir. Enzo Martinelli (1938) ve Salomon Bochner (1943) tarafından bağımsız olarak kanıtlanmıştır.

Formülün diferansiyel formlara yönelik genellemesi Bochner-Martinelli-Koppelman formülü olarak bilinmektedir.

Bochner-Martinelli formülünün yayınlandığı ve kanıtlandığı ilk makale Martinelli'ye aittir.^[1] Başka bir makalede ise,^[2] Martinelli Hartogs teoreminin kanıtını Bochner-Martinelli formülünü kullanarak vermiştir.

Bochner ise 1943'ün nisan ayında yayınlanması için ibraz ettiği makalesinde ^[3] yer alan ve yine aynı yılın Eylül ayında güncellediği bir dipnotta Formül (53)'ün ve kanıtı bu formüle dayanan Teorem 5'in Enzo Martinelli tarafından (Martinelli 1943) hemen yakın zamanda yayınlandığını söylemektedir.^[4] Yine aynı dipnotta, yazarın (yani Bochner'in) bu sonuçları daha önce 1940/41 kış döneminde Princeton'daki doktora seviyesindeki bir derste sunduğu ve Donald C. May tarafından Haziran 1941'de yazılan An integral formula for analytic functions of k variables with some applications başlıklı doktora tezinde yer aldığı kaydedilmiştir. Ancak, Bochner 1947'de yayınladığı bir makalesindeki dipnotta,^[5] daha önce Bochner 1943 makalesindeki dipnotta Martinelli'den önce bu formüle aşina olabileceği hakkındaki iddiasının dayanaksız olduğunu ve bu iddiasını geri çektiğini yazmıştır.

Walter Koppelman son yaptığı yayınında Cauchy-Fantappiè çekirdeği ile alakalı mekanizmanın sadece fonksiyonlar için değil diferansiyel formlar için de uyarlanabileceğini göstermiştir.^[6]

${\displaystyle \zeta ,z\in \mathbb {C} ^{n}}$ için, Bochner–Martinelli çekirdeği ω(ζ, z) ikili derecesi (n,n−1) olan ve ζ için aşağıdaki gibi tanımlı bir formdur:

${\displaystyle \omega (\zeta ,z)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}{\frac {1}{|z-\zeta |^{2n}}}\sum _{1\leq j\leq n}({\overline {\zeta }}_{j}-{\overline {z}}_{j})\,d{\overline {\zeta }}_{1}\land d\zeta _{1}\land \cdots \land d\zeta _{j}\land \cdots \land d{\overline {\zeta }}_{n}\land d\zeta _{n}}$

Burada, toplamın terimleri dζ_j formunu atlar.

${\displaystyle \Omega }$ kümesi ${\displaystyle \mathbb {C} }$ⁿde parçalı düzgün bir sınıra (${\displaystyle b\Omega }$) sahip olan bir bölge olsun. Diyelim ki f fonksiyonu ${\displaystyle \Omega }$ kümesinin kapanışında sürekli türevlenebilen bir fonksiyondur. O halde, Bochner-Martinelli formülü şunu ifade eder: ${\displaystyle z\in \Omega }$ için

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{b\Omega }f(\zeta )\omega (\zeta ,z)-\int _{\Omega }{\overline {\partial }}f(\zeta )\land \omega (\zeta ,z).}$

• Bu formülü veren teoremler aslında formülden daha fazlasını gösterirler. Bu teorem ifadelerinde, formülün sağ tarafı baz alınıp eşitlik bölge içindeki noktalar için yukarıdaki gibi verilir; bölgenin kapanışının dışında kalan noktalar içinse sonuç 0 olarak verilir.
• f ayrıca holomorf ise, ikinci integral o zaman sıfıra eşittir ve aşağıdaki bağlantı holomorf fonksiyonlar için yazılabilir.

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{b\Omega }f(\zeta )\omega (\zeta ,z).}$

• Bochner-Martinelli çekirdeği harmoniktir ama ${\displaystyle n>1}$ için holomorf değildir.

Bochner-Martinelli çekirdeği Cauchy çekirdeğini birden fazla kompleks boyuta taşımaktadır. Gerçekten de ${\displaystyle n=1}$ alınırsa, o zaman Bochner-Martinelli çekirdeği şu hali alır:

${\displaystyle \omega (\zeta ,z)={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {1}{|z-\zeta |^{2}}}({\overline {\zeta }}-{\overline {z}})d\zeta .}$

Burada, ${\displaystyle |z-\zeta |^{2}=(z-\zeta )({\overline {z}}-{\overline {\zeta }})}$ olduğunu gözlemleyip gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra çekirdeğin

${\displaystyle \omega (\zeta ,z)={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {1}{(\zeta -z)}}d\zeta }$

olduğu görülür ki bu da Cauchy çekirdeğidir. Sonuç olarak, eğer f bir kompleks değişkenli holomorf fonksiyon ise Bochner-Martinelli formülünün yukarıda verilen özel hali Cauchy integral formülüne dönüşür. Yani,

${\displaystyle \displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{b\Omega }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}d\zeta .}$

${\displaystyle \gamma =\sum _{j=1}^{n}({\bar {w}}_{j}-{\bar {z}}_{j})dw_{j}}$ olsun. O zaman, Bochner–Martinelli-Koppelman çekirdeği ${\displaystyle (p,q)}$ formları ${\displaystyle (1\leq q\leq n-1)}$ için şu şekilde yazılabilir:^[7]

${\displaystyle U_{q}({w},{z})={{n-1} \choose {q}}{\frac {(-1)^{\frac {q(q-1)}{2}}}{(2\pi i)^{n}}}\gamma \wedge ({\overline {\partial }}_{z}\gamma )^{q}\wedge ({\overline {\partial }}_{w}\gamma )^{n-q-1}}$

${\displaystyle \Omega }$ kümesi ${\displaystyle \mathbb {C} }$ⁿde parçalı düzgün bir sınıra (${\displaystyle b\Omega }$) sahip olan bir bölge olsun. Diyelim ki f, ${\displaystyle \Omega }$ bölgesinin kapanışında sürekli türevlenebilen bileşen fonksiyonları olan ${\displaystyle (0,q)}$-formu olsun. O halde, Bochner-Martinelli-Koppelman formülü şunu ifade eder: ${\displaystyle z\in \Omega }$ için

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\int _{b\Omega }f(w)\wedge U_{q}(w,z)-\int _{\Omega }{\overline {\partial }}_{w}f(w)\wedge U_{q}(w,z)-{\overline {\partial }}_{z}\int _{\Omega }f(w)\wedge U_{q-1}(w,z).}$

Bu teoremin ifadelerinde, formülün sağ tarafı baz alınıp eşitlik bölge içindeki noktalar için yukarıdaki gibi verilir; bölgenin kapanışının dışında kalan noktalar içinse sonuç 0 olarak verilir.

• Boas, Harold (2005), Topics in Several Complex Variables [Çok karmaşık değişkenli analizde konular] (PDF) (22 Haziran 2010da küçük güncellemeler yapılmıştır).
• Bochner, Salomon (1943), "Analytic and meromorphic continuation by means of Green's formula" [Green formülü vesilesiyle analitik ve meromorf devamlılık], Annals of Mathematics, Second Series, 44 (4), ss. 652-673, doi:10.2307/1969103, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969103, MR 0009206, Zbl 0060.24206 .
• Bochner, Salomon (1947), "On compact complex manifolds" [Tıkız kompleks manifoldlar üzerine], The Journal of the Indian Mathematical Society, New Series, cilt 11, ss. 1-21, MR 0023919, Zbl 0038.23701 .
• Koppelman, Walter (1967), "The Cauchy integral for functions of several complex variables" [Birden fazla kompleks değişkenli fonksiyonlar için Cauchy integrali], Bull. Amer. Math. Soc. (İngilizce), 73, ss. 373-377 .

• Martinelli, Enzo (1938), "Alcuni teoremi integrali per le funzioni analitiche di più variabili complesse" [Birden fazla kompleks değişkenli analitik fonksiyonlar için bazı integral teoremleri], Atti della Reale Accademia d'Italia. Memorie della Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (İtalyanca), 9 (7), ss. 269-283, JFM 64.0322.04, Zbl 0022.24002 .
• Martinelli, Enzo (1942–1943), "Sopra una dimostrazione di R. Fueter per un teorema di Hartogs" [Hartogs'un bir teoreminin R. Fueter tarafından bir kanıtı üzerine], Commentarii Mathematici Helvetici (İtalyanca), 15 (1), ss. 340-349, doi:10.1007/bf02565649, MR 0010729, Zbl 0028.15201, 2 Ekim 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 4 Temmuz 2020 . SEALS Portal kaynağında mevcut. 10 Kasım 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.