Matematiğin bir alt dalı olan fonksiyonel analizde, tam normlu vektör uzayılarına Banach uzayı denir. Tanımı gereği, Banach uzayı, vektör uzunluğunun ve vektörler arasındaki mesafenin hesaplanmasına vesile olan bir metriğe sahip bir vektör uzayıdır ve bu metrik uzayda herhangi bir Cauchy vektör dizisinin her zaman uzayın içinde kalan ve iyi tanımlanmış bir limiti olması anlamında tamdır.

Banach uzayları, bu kavramı 1920-1922'de Hans Hahn ve Eduard Helly ile birlikte sistematik olarak inceleyen Polonyalı matematikçi Stefan Banach'ın adını taşır.^[1] Maurice René Fréchet, Banach uzayı terimini ilk kullanan matematikçiydi.^{[not 1][2]} Banach uzayları, yirminci yüzyılın başlarında Hilbert, Fréchet ve Riesz tarafından fonksiyon uzayları üzerine yapılan çalışmalardan ortaya çıktı .

Banach uzayları, fonksiyonel analizde merkezi bir rol oynar. Diğer analiz alanlarında incelenen uzaylar genellikle Banach uzaylarıdır.

Tam olan bir normlu uzaya Banach uzayı adı verilir.

Normlu uzay ${\displaystyle X}$ ile gösterilsin. ${\displaystyle X}$ üzerinde tanımlı norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ise, Banach uzayının gösterimi ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ olur. Ancak, sadece bir tane Banach uzayından bahsediliyorsa veya norma vurgu yapmaya gerek yoksa, ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ yerine sadece ${\displaystyle X}$ bir Banach uzayıdır da denir.

${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ normlu uzayı, skaler bir cisim ${\displaystyle \mathbb {K} }$^{[not 2]} üzerinde tanımlanmış bir ${\displaystyle X}$ vektör uzayından ve belirli bir norm fonksiyonu olan ${\displaystyle \|\cdot \|:X\to \mathbb {R} }$ ile tanımlanır.^{[not 3]} Bütün normlar gibi bu norm da ötelemeyle değişmez bir metrik uzayı doğurur.^{[not 4]} Bu metriğe norm tarafından üretilen metrik denir. Eğer bu metrik ${\displaystyle d}$ ile gösterilirse o zaman şu şekilde tanımlanır: $${\displaystyle d(x,y):=\|y-x\|=\|x-y\|.}$$ Bu tanım altında, norm özelliklerinden faydalanarak ${\displaystyle d}$'nin gerçekten bir metrik olduğu gösterilebilir. Sonuç olarak, ${\displaystyle X}$ bir metrik uzayı olur ve ${\displaystyle (X,d)}$ ile gösterilir.

${\displaystyle (X,d)}$ içinde bir ${\displaystyle \{x_{j}\}_{j=1}^{\infty }}$ dizisi

" Her gerçel ${\displaystyle \varepsilon >0}$ için bir ${\displaystyle N\in \mathbb {Z} ^{+}}$ sayısı vardır öyle ki

${\displaystyle d\left(x_{n},x_{m}\right)=\left\|x_{n}-x_{m}\right\|<\varepsilon \quad \forall m,n\geq N}$ "

özelliğini sağlarsa, bu diziye Cauchy dizisi adı verilir.^{[not 5]}

Bir metrik uzayının ${\displaystyle (X,d)}$'deki her ${\displaystyle \{x_{j}\}_{j=1}^{\infty }}$ Cauchy dizisinin limiti yine ${\displaystyle X}$'teyse, o zaman ${\displaystyle d}$'ye tam metrik, ${\displaystyle (X,d)}$'ye ise tam metrik uzay denir. Burada limit kavramı ${\displaystyle (X,d)}$ bağlamında ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}$ olarak yazılabilir. Aynı zamanda, ${\displaystyle \left\|x_{n}-x\right\|=d\left(x_{n},x\right)}$ olacağı için, dizinin ${\displaystyle x}$ değerine yakınsaması daha önce verilen limit ifadesine denk olarak ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bağlamında ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}-x\right\|=0}$ olarak yazılabilir.

Sonuç olarak, ${\displaystyle (X,d)}$ tam metrik uzaysa ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ Banach uzayıdır. ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ normlu uzayı eğer Banach uzayıysa, o zaman ${\displaystyle \|\cdot \|}$ norm fonksiyonuna tam norm denir.

Aşağıdaki uzayların hepsi fonksiyonel analizin içinde çalışılan birer Banach uzayıdır.

• ${\displaystyle \mathbb {F} }$ gerçel sayılar cismi ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ya da karmaşık sayılar ${\displaystyle \mathbb {C} }$ cismi olmak üzere Öklid uzayı ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$,
• Daha genel olarak ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ya da karmaşık sayılar ${\displaystyle \mathbb {C} }$ cismi üzerinde tanımlı herhangi bir sonlu-boyutlu vektör uzayı
• Bir Banach uzayının herhangi kapalı bir altuzayı yine Banach uzayıdır. Mesela, ${\displaystyle X}$ bir topolojik uzaysa ve ${\displaystyle Y}$ Banach uzayıysa, ${\displaystyle X}$'ten ${\displaystyle Y}$'ye tanımlanan ve hem sürekli hem de sınırlı olan fonksiyonlar uzayı ${\displaystyle B(X,Y)}$ yine Banachtır. Sonuç olarak, tıkız bir ${\displaystyle K}$ uzayı için, ${\displaystyle K}$ üzerinde tanımlı sürekli fonksiyonlar uzayı ${\displaystyle C(K,Y)}$ de Banach uzayıdır. Aslında, Banach-Alaoglu teoremi vasıtasıyla, her Banach uzayı ${\displaystyle C(K,\mathbb {R} )}$'nin kapalı bir alt uzayına izomorftur.
• Hilbert uzayları
• Lebesgue uzayları: ${\displaystyle \ell _{p}^{n}}$, ${\displaystyle \ell _{\infty }^{n}}$, ${\displaystyle \ell ^{p}}$, ${\displaystyle \ell ^{1}}$, ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$, ${\displaystyle L^{p}}$
• ${\displaystyle \operatorname {c} }$ uzayı, Null diziler uzayı ${\displaystyle c_{0}}$,
• bv uzayı, ${\displaystyle \operatorname {bv} _{0}}$ uzayı, ${\displaystyle \operatorname {bs} }$ uzayı, ${\displaystyle \operatorname {cs} }$ uzayı
• Tıkız Hausdorff uzayı üzerindeki sürekli fonksiyonlar uzayı C(K)
• Mutlak sürekli fonksiyonlar uzayı ${\displaystyle \operatorname {AC} ([a,b])}$

Ayrıca, matematiksel analizde uygulamaları olan ve yoğunlukla kullanılan şu uzaylar da Banach uzayıdır: Hardy uzayı, Bergman uzayı, Besov uzayı, Sobolev uzayı, sınırlı varyasyon uzayı, Hölder uzayı, Lorentz uzayı

1. ^ Tesadüf ki, Banach da buna karşılık daha sonraları Fréchet uzayı terimini kullanmıştır.
2. ^ Bu cisim genelde, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ya da ${\displaystyle \mathbb {R} }$ olur. Belirli bir cisim kastedilmiyorsa, Almanca terim Körper kaynaklı ${\displaystyle \mathbb {K} }$ kullanılır.
3. ^ Burada belirli sözünden kastedilen şudur. Eğer ${\displaystyle X}$ üzerinde ${\displaystyle \|\cdot \|}$ normu yerine başka bir norm ${\displaystyle \|\,\cdot \,\|^{\prime }}$ alınsaydı, o zaman ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ile ${\displaystyle \left(X,\|\cdot \|^{\prime }\right),}$ aynı Banach uzayı olmazdı. Bu durum, normlar denk olsa bile değişmezdi. Yine de, bir vektör uzayı üzerinde tanımlı denk normlar bir denklik bağıntısı oluştururlar.
4. ^ Normlu bir ${\displaystyle X}$ uzayı üzerinde bir norm tarafından doğurulan bir ${\displaystyle d}$ metriği öteleme değişmezliği adı verilen özelliği sağlar. Yani, her ${\displaystyle x,y,z\in X}$ için ${\displaystyle d(x,y)=d(x+z,y+z)}$ vardır. Bu özellik, ancak ve ancak yine bütün ${\displaystyle x,y\in X}$ için ${\displaystyle d(x,y)=d(x-y,0)}$ gerçeklenirse olur. Öbür taraftan, öteleme değişmezliğinin bir metrik uzayda sağlanması, bu metrik uzayın normlu bir uzay tarafından doğurulduğunu tek başına göstermez. Bunun olması için, öteleme degişmezliğinin yanı sıra bir de mutlak homojenlik özelliği gerekir. Bu özellik, bir ${\displaystyle f:X\mapsto \mathbb {R} }$ fonksiyonu için

   Her ${\displaystyle x\in X}$ ve ${\displaystyle s\in \mathbb {K} }$ için, ${\displaystyle f(sx)=|s|f(x)}$ vardır.

   olarak tanımlanır.
5. ^ Metriği veya normu vurgulamak için ${\displaystyle (X,d)}$'de Cauchy, ${\displaystyle d}$-Cauchy veya ${\displaystyle \|\cdot \|}$-Cauchy tanımları da kullanılır.

• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Topological Vector Spaces: Chapters 1–5. Éléments de mathématique. Eggleston, H.G.; Madan, S. tarafından çevrilmiştir. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press ISBN 978-1584888666