Bu maddedeki üslubun, ansiklopedik bir yazıdan beklenen resmî ve ciddi üsluba uygun olmadığı düşünülmektedir. Maddeyi geliştirerek ya da konuyla ilgili tartışmaya katılarak Vikipedi'ye katkıda bulunabilirsiniz.

Ardışık sayılar, kendisinden önce ve sonra gelen sayılara bir kural ile bağlı olan sayılara denir.

n: Bir tam sayı olmak üzere

ardışık tam sayılar: ${\displaystyle n,(n+1),(n+2),...}$

Ardışık tek sayılar : ${\displaystyle 2n-1,2n+1,2n+3,...}$

Ardışık çift sayılar : ${\displaystyle 2n,2n+2,2n+4,...}$ (ardışık tek sayılar ve çift sayılar ikişer artarlar.)

Ardışık sayıların mucidi olarak bilinen Carl Friedrich Gauss, 30 Nisan 1777'de Almanya'nın Braunschweig şehrinde doğdu. Gauss, matematiğe olan merakı sayesinde genç yaşta büyük başarılara imza attı.

Bir gün, Gauss'un ilkokul öğretmeni sınıfta ders anlatırken öğrencilerine, 1'den 100'e kadar olan tüm sayıların toplamını bulmalarını söyledi. Öğretmenin birikmiş işleri vardı ve amacı öğrencileri biraz oyalamaktı; ayrıca matematiksel düşünmeyi de öğretmek istiyordu. Ancak Gauss çok daha fazlasını başardı.

Gauss, birkaç saniye düşündükten sonra cevabı buldu ve defterine yazdı. Diğer öğrenciler, hala sayıları toplamaya çalışırken, Gauss öğretmenin yanına gitti ve cevabı söyledi: 5050.

Öğretmen şaşkına döndü ve Gauss'un nasıl bu kadar hızlı bir şekilde cevabı bulduğunu sordu. Gauss, ardışık sayıların toplamını hesaplamak için bir formül keşfettiğini söyledi. Toplamı istenen sayıları düz ve tersten alt alta yazarak topladığında üstteki ve alttaki sayıların toplamı sürekli 101 sayısını veriyordu.

${\displaystyle 1+2+3+...+100=A}$

${\displaystyle 100+99+98+...+1=A}$

+___________________________

${\displaystyle 101+101+101+...+101=2.A}$

Gauss daha sonra 101 ile terim sayısını çarptığında kendisinden istenen sonuçtan 2 tane elde ettiğini gördü. ${\displaystyle 101.100=2.A}$ işlemini gerçekleştirdi ve Gauss, çok kısa yoldan ${\displaystyle A=\left({\frac {101.100}{2}}\right)=5050}$ cevabını buldu.

Bu başarısıyla Gauss, matematik dünyasında büyük bir olay haline geldi ve daha sonra bilim camiasında büyük bir ün kazandı. Gauss'un ardışık sayıların toplamını bulmak için keşfettiği formül, bugün bile matematiksel hesaplamaların bir parçasıdır ve matematik eğitiminde kullanılmaktadır. Bu formülü kullanarak, 1'den n'ye kadar olan tüm tamsayıların toplamını ${\displaystyle \left({\frac {n.(n+1)}{2}}\right)}$ olarak bulunur.

Pascal üçgeni, binom katsayılarının düzenli bir üçgen yapısında gösterilmesidir ve ardışık sayıların toplamlarıyla doğrudan bir ilişki içerir.

Bu üçgenin yapısını incelediğimizde, sağ kenar boyunca sadece 1'lerin yer aldığını görürüz. Bu kenar, Pascal üçgeninin temel bir özelliğini oluşturur.

Daha içte, her satırın ikinci sütununda ardışık sayılar dizisi yer alır: 1,2,3,4,…,n. Daha da içte ise ardışık sayıların toplamlarını temsil eden bir başka dizi bulunur. Bu dizi, üçgen sayılar olarak bilinir ve 1,3,6,10,…,2n(n+1)​ şeklinde ifade edilir. Bu üçgen sayıların toplamı ise bir sonraki sütunda yer alır ve bu dizi tetrahedral sayılar olarak bilinir: 1,4,10,20,…. Böylece Pascal üçgeni, ardışık sayıların, bu sayıların toplamlarının ve bu toplamların toplamlarının bir düzen içinde yer aldığı bir yapıyı temsil eder.

Pascal üçgeninde her eleman, kombinasyonlarla ifade edilir. n-inci satırın k-ıncı elemanı (kn​) formülüyle hesaplanır. Örneğin, ikinci sütundaki elemanlar (1n​)=n ile, üçüncü sütundaki elemanlar (2n​)=2n(n−1)​ ile, dördüncü sütundaki elemanlar ise (3n​)=6n(n−1)(n−2)​ ile bulunur. Bu ifadeler, ardışık sayıların ve toplamlarının matematiksel açıklamasını sağlar. Sayıların toplamı S1​=∑k=1n​k=2n(n+1)​ formülüyle, üçgen sayıların toplamı ise S2​=∑k=1n​2k(k+1)​ formülüyle gösterilir. Her bir toplam, Pascal üçgeninde bir sonraki sütuna karşılık gelir.

Bu düzen, Pascal üçgeninin ardışık toplamlarla nasıl bir bağ kurduğunu açıkça ortaya koyar. Üçgenin en alt satırında, sol kenardaki sayı ile sağ kenardaki sayı arasındaki fark, ardışık toplamların sonucunda elde edilen bir değeri temsil eder. Örneğin, sekizinci satırda sol kenardaki sayı 8, sağ kenardaki sayı ise 1 olup bu ikisinin farkı 8−1=7 olarak bulunur. Bu ilişki, ardışık sayıların ve toplamlarının Pascal üçgeninde nasıl yer aldığını ve üçgenin matematiksel düzenini nasıl ifade ettiğini gösterir.

Matematik ile ilgili bu madde taslak seviyesindedir. Madde içeriğini genişleterek Vikipedi'ye katkı sağlayabilirsiniz.