Matematikte Analitik Fredholm teoremi bir Hilbert uzayı üzerinde tanımlı sınırlı doğrusal operatörlerden bazılarının sınırlı terslerinin varlığıyla ilgili bir sonuçtur. Teorem, Hilbert-Schmidt teoremi ve Fredholm seçeneği gibi iki klâsik ve önemli teoremin temelini oluşturur. Teorem, adını İsveçli matematikçi Erik Ivar Fredholm'dan almıştır.

${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ bir bölge, ${\displaystyle (H,\langle \ ,\ \rangle )}$ gerçel ve karmaşık bir Hilbert uzayı ve ${\displaystyle L(H)}$ ise ${\displaystyle H}$'den ${\displaystyle H}$'ye giden sınırlı ve doğrusal operatörlerin uzayı olsun. Birim operatörü ${\displaystyle I}$ ile gösterelim. Diyelim ki, bir ${\displaystyle B:G\to L(H)}$ gönderimi için $${\displaystyle \lim _{\lambda \to \lambda _{0}}{\frac {B(\lambda )-B(\lambda _{0})}{\lambda -\lambda _{0}}}}$$ limiti her ${\displaystyle \lambda _{0}\in G}$ için var olsun; yâni, ${\displaystyle B}$ gönderimi ${\displaystyle G}$ içinde analitik olsun ve ${\displaystyle B(\lambda )}$ operatörü her ${\displaystyle \lambda \in G}$ için tıkız operatör olsun. O zaman,^[1]

• ya tüm ${\displaystyle \lambda }$ değerleri için ${\displaystyle I-B(\lambda )}$ operatörünün tersi yoktur;
• ya da, ${\displaystyle G}$'nin ayrık bir ${\displaystyle S}$ altkümesi vardır öyle ki ${\displaystyle I-B(\lambda )}$ operatörünün tersi ${\displaystyle \lambda \in G\backslash S}$ için her zaman vardır. Bu durumda, ${\displaystyle \lambda \mapsto (I-B(\lambda ))^{-1}}$ olarak tanımlanan bir fonksiyon, ${\displaystyle G\backslash S}$ kümesinde analitik olur. Eğer ${\displaystyle \lambda \in S}$ ise, o zaman

${\displaystyle B(\lambda )\psi =\psi }$

denkleminin çözümlerinin kümesi sonlu boyutlu olur.