Ang Integrasyon gamit ang parsiyal na praksiyon (Ingles: integration by partial fractions) ay paraan upang mahanap ang integral ng mga rasyonal na punsiyon. Anumang rasyonal na punsiyon ng real na bariabulo ay maaaring isulat bilang suma ng isang polinomial na punsiyon at mga bilang ng mga praksiyon. Ang bawat praksiyon sa pagpapalawig ay mayroong denominador na punsiyong polinomial ng digri 1 o 2 o iba pang positibong intedyer na kapangyarihan ng gayung polinomial. Sa kaso ng rasyonal na punsiyon ng kompleks na bariabulo, ang lahat ng denominador ay may dirgi na 1 o iba pang positibong intedyer na kapangyarihan ng gayung polinomial. Kung ang denominador ay unang digring polinomial o isang kapangyarihan ng gayung polinomial, ang numerador ay isang konstante. Kung ang denominador ay ikalawang digring polinomial o isang kapangyarihan ng gayung polinomial, ang numerador ay unang digring polinomial.

Ang substitusyong u = ax + b, du = a dx ay pinapaliit ang integral na

${\displaystyle \int {1 \over ax+b}\,dx}$

sa

${\displaystyle \int {1 \over u}\,{du \over a}={1 \over a}\int {du \over u}={1 \over a}\ln \left|u\right|+C={1 \over a}\ln \left|ax+b\right|+C.}$

Ang parehong substitusyon ay nagpapaliit sa mga integral gaya ng

${\displaystyle \int {1 \over (ax+b)^{8}}\,dx}$

sa

${\displaystyle \int {1 \over u^{8}}\,{du \over a}={1 \over a}\int u^{-8}\,du={1 \over a}\cdot {u^{-7} \over (-7)}+C={-1 \over 7au^{7}}+C={-1 \over 7a(ax+b)^{7}}+C.}$

Ang integral gaya ng:

${\displaystyle \int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx.}$

Ang mabilis na paraan upang makita na ang denominador na x² − 8x + 25 ay hindi na mapapaliit ay ang pagtingin na ang diskriminante ay negatibo. Ang isa pang paraan ay sa pamamagitan ng pagkukumpleto ng kwadrado:

${\displaystyle x^{2}-8x+25=(x^{2}-8x+16)+9=(x-4)^{2}+9\,}$

at makikita na ang suma ng dalawang kwadrado ay hindi magiging 0 habang ang x ay isang real na bilang. Upang gamitin ang substitusyon

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=x^{2}-8x+25\\du&=(2x-8)\,dx\\du/2&=(x-4)\,dx\end{aligned}}}$

kailangang humanap ng x − 4 sa numerador. Ang numerator na x + 6 ay hahatiin bilang (x − 4) + 10, at ang integral ay isusulat na

${\displaystyle \int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx+\int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx.}$

Ang subtitusyon ay humahawak sa unang sinuma(summand), kaya:

${\displaystyle \int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {du/2 \over u}={1 \over 2}\ln \left|u\right|+C={1 \over 2}\ln(x^{2}-8x+25)+C.}$

Dapat tandaan na ang dahilan na kailangang itapon ang senyas(sign) ng absolut na halaga ay dahil gaya ng makikita sa taas, ang (x − 4)² + 9 ay hindi magiging negatibo. Ngayon tignan ang integral na:

${\displaystyle \int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx.}$

Una, ikumpleto ang kwadrado, tapos gamitin ang alhebra:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {10 \over (x-4)^{2}+9}\,dx\\[9pt]&=\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx={10 \over 3}\int {1 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,\left({dx \over 3}\right)\end{aligned}}}$

Ngayon ang substitusyon ay:

${\displaystyle w=(x-4)/3\,}$

${\displaystyle dw=dx/3\,}$

na nagbibigay ng:

${\displaystyle {10 \over 3}\int {dw \over w^{2}+1}={10 \over 3}\arctan(w)+C={10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C.}$

Kung pagsasamahin lahat:

${\displaystyle \int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx={1 \over 2}\ln(x^{2}-8x+25)+{10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C.}$

Sa ibang kaso, mas mabuting gumamit ng kompleks na dekomposisyon ng polinomial. Sa itaas na halimbawa:

${\displaystyle \int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx}$

Kung palalawigin ang denominador ng dalawang kompleks na multiplayer.

${\displaystyle x^{2}-8x+25=(x-4+3i)(x-4-3i)}$

Tapos tignan ang pagpapalawig ng integrando sa dalawang termino:

${\displaystyle {\frac {x+6}{x^{2}-8x+25}}={\frac {A}{x-4+3i}}+{\frac {B}{x-4-3i}}}$

Kung lulutasin ang sistema ng mga ekwasyong linyar, ang resulta ay:

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {5}{3}}i,B={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {5}{3}}i}$

${\displaystyle \int {\frac {x+6}{x^{2}-8x+25}}\,dx=({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {5}{3}}i)\int {\frac {1}{x-4+3i}}\,dx+({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {5}{3}}i)\int {\frac {1}{x-4-3i}}\,dx}$

Pagkatapos ng integrasyon:

${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {5}{3}}i\right)\ln(x-4+3i)+\left({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {5}{3}}i\right)\ln(x-4-3i)+C}$

Kung papangkatin ang magkahiwalay na real at imahinaryong mga termino:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(\ln(x-4+3i)+\ln(x-4-3i)\right)+{\tfrac {5}{3}}i\left(\ln(x-4+3i)-\ln(x-4-3i)\right)+C}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\ln \left((x-4+3i)(x-4-3i)\right)+{\tfrac {5}{3}}i\ln {\frac {x-4+3i}{x-4-3i}}+C}$

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\ln(x^{2}-8x+25)+{\tfrac {5}{3}}i\ln {\frac {1-i{\frac {x-4}{3}}}{1+i{\frac {x-4}{3}}}}+C}$

Ang arctangent ng kompleks na bariabulo ay maaaring ihayag sa pamamagitan ng logaritmo:

${\displaystyle \arctan \,z={\tfrac {1}{2}}i\ln {\frac {1-i\,z}{1+i\,z}}}$

Ito ay nagbibigay ng kalayaan para ihayag ang ikalawang termino sa arctangent:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\ln(x^{2}-8x+25)+{\tfrac {10}{3}}\arctan {\frac {x-4}{3}}+C}$

Tignan natin ang:

${\displaystyle \int {x+6 \over (x^{2}-8x+25)^{8}}\,dx.}$

Katulad ng nasa itaas, maaaring hatiin ang x + 6 sa (x − 4) + 10, at itrato ang bahagi na naglalaman ng x − 4 sa pamamagitan ng substitusyon

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=x^{2}-8x+25,\\du&=(2x-8)\,dx,\\du/2&=(x-4)\,dx.\end{aligned}}}$

Ang resulta ay:

${\displaystyle \int {10 \over (x^{2}-8x+25)^{8}}\,dx.}$

Gaya ng nasa itaas, dapat munang ikumpleto ang kwadrado at gumamit ng alhebra:

${\displaystyle \int {10 \over (x^{2}-8x+25)^{8}}\,dx=\int {10 \over ((x-4)^{2}+9)^{8}}\,dx=\int {10/9^{8} \over \left(\left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1\right)^{8}}\,dx.}$

Ngayon, maaari ng gumamit ng trigonometrikong punsiyon:

${\displaystyle \tan \theta ={x-4 \over 3},\,}$

${\displaystyle \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1=\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta ,\,}$

${\displaystyle d\tan \theta =\sec ^{2}\theta \,d\theta ={dx \over 3}.\,}$

Ang integral ay naging:

${\displaystyle \int {30/9^{8} \over \sec ^{16}\theta }\sec ^{2}\theta \,d\theta ={30 \over 9^{8}}\int \cos ^{14}\theta \,d\theta .}$

Sa paulit ulit na paglapat ng kalahating-anggulong pormula sa trigonometriya:

${\displaystyle \cos ^{2}\theta ={1 \over 2}(1+\cos(2\theta )),}$

Ito ay maaaring paliitin sa isang integral na walang mataas na kapangyarihan ng cos θ na mas mataas sa unang kapangyarihan. Ngayon, mahaharap tayo sa problemang paghahayag ng sin(θ) at cos(θ) bilang mga punsiyon ng x.

Kung matatandaan:

${\displaystyle \tan(\theta )={x-4 \over 3},}$

at ang tangent = opposite/adjacent. Kung ang kabaligtarang(opposite) gilid ay may habang x − 4 at ang katabing(adjacent) gilid ay may habang 3, ang Teorema ni Pythagorean ay nagsasaad na ang hipotenus ay may habang √((x − 4)² + 3²) = √(x² −8x + 25).

Ang resulta ay:

${\displaystyle \sin(\theta )={{\text{opposite}} \over {\text{hypotenuse}}}={x-4 \over {\sqrt {x^{2}-8x+25}}},}$

${\displaystyle \cos(\theta )={{\text{adjacent}} \over {\text{hypotenuse}}}={3 \over {\sqrt {x^{2}-8x+25}}},}$

at

${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )={6(x-4) \over x^{2}-8x+25}.}$