Positionssystem

Ett positionssystem är en typ av talsystem där talvärdet av en sifferföljd som inte bara bestäms av siffrornas tilldelade värden, utan även av deras positioner i följden. Detta skiljer sig från till exempel det romerska talsystemet, där ett tals värde fastställs genom addition och subtraktion av de olika ”siffrorna”. Det decimala talsystemet med arabiska siffror som är det vanligaste sättet att skriva tal på i västvärlden, är ett positionssystem med basen tio.

I ett positionssystem anger varje siffra ett antal av en potens av systemets talbas, och varje position har en bestämd potens. Talets värde erhålls genom att multiplicera talets siffror med sina potenser, vars storlek är beroende av siffrornas inbördes position, och därefter summeras produkterna.[1] När talet 12 skrivs i decimalsystemet så ligger ettan på tiotalets plats (10¹) och tvåan på entalets plats (10⁰). Dessa summeras för att få talets värde: 1×10 + 2×1 = 12.

Introduktion

Talet 3526 kan även skrivas som , eller uttryckt med tiopotenser, som .

Ett heltal i 10-systemet kan alltså skrivas som , där .

Talet 23 kan beskrivas som , men för att varje position skall utgöras av en enda siffra, skrivs det som . Motsvarande gäller även andra baser.

Allmänt om olika talbassystem

Hur ett tal beskrivs i bas
Notation i bas :
Positionsvärde:
Talets värde:

Det som utmärker det vanliga 10-bassystem är att det är baserat på potenser av 10. På samma sätt kan andra tal användas som bas. För att generalisera konceptet, kan basen betecknas . Tabellen till höger visar hur tal uttrycks i bas .

För att ange vilken bas ett tal är skrivet i, skrivs basen med nedsänkt tal efter representationen. Till exempel så kan talet förtydligas genom att skriva det som . Allmänt antas ett tal vara uttryckt enligt 10-systemet om det saknar basangivelse.

Siffrorna som används i en bas är alltid 0 till , eftersom det går att växla till nästa valör på samma sätt som i 10-bassystemet; kan skrivas om till där .

Om ett tal skrivs i bas , så är varje siffra i det talets representation mindre än .

Heltal i andra baser

Notation i bas 2: 1 1 1 0 0
Positionsvärde:
Talets värde: 16+8+4+0+0

Ett annat exempel är talet . Om "växlingstabellen" används så ser man att detta representerar talet . är alltså talet .

I högre baser än 10 uppstår ett problem. Uttrycket kan både tolkas som , eller som . En lösning är att exempelvis gruppera siffrorna tydligare: är representation för i bas 13, medan är representation för talet 197.

Ett annat alternativ är att utöka de första 10 (arabiska) siffrorna (0-9) med bokstäver. Som exempel skulle , , , , och . då bli . Detta skrivsätt används ofta inom IT-världen, speciellt inom programmering. Då datorn internt arbetar i bas 2 med enbart nollor och ettor, så kallade binära tal, har talen på detta skrivsätt relativt många positioner: 25510 = 111111112. En manuell omvandling till decimaltal kan förenklas genom att gruppera de binära siffrorna 0 och 1 i grupper om fyra, och därmed reducera antalet positioner från åtta till två. Problemet är att 11112 = = 1510, alltså 2 siffror, medan talet i basen, 16, kan representeras av en enda siffra, F16 (=1510 enligt ovan). 111111112 vore då FF16. På detta sätt kan representationen av ett tal omvandlas relativt lätt mellan dessa två talsystem utan komplicerade beräkningar.

Exempel 1: Konvertering av tal till basen 10

Talet i basen 10

Talet skrivs upp enligt mallen och beräknas ganska enkelt i basen 10.

Notation i bas 7: 6 3 4 2
Positionsvärde:
Talets värde:

är då .

Talet i bas 10

Med användning av växlingstabellen skrivs

Notation i bas 81: 14 2 70
Positionsvärde:
Talets värde:

Vi får då att talet är .

Talet i basen 16

Notation i bas 16: 2 2 0 10 12 12 4
Positionsvärde:
Talets värde:

Då fås att talet är .

Exempel 2: Konvertering av tal från basen 10

Talet i basen 16

Föreställ 154 enkronor på bordet, som ska växlas till mynt med valörerna . 256-mynten är för stora, så det räcker med 16-mynten och 1-mynten. Hur många 16-mynt kan då behövas?

visar att 154 räcker till 9 hela 16-kronorsmynt. De resterande mynten får då vara kvar som enkronor. Alltså kan 154 enkronor växlas till .

Talet i bas 3?

1632 enkronor ska växlas till mynt i valörerna

Samma princip som ovan ger då att

(1458 mynt växlas till 2 stycken 729-sedlar).

Fortsätter växlingen till mynt fås

Uttryckt som en summa av alla mynttyper fås .

Läses nu antalet mynt av varje sort fås . Alltså gäller

Decimaltal i andra baser

Decimaltal i andra baser fungerar på precis samma sätt som när det fanns 10-öresmynt och 1-öresmynt, (som motsvarar -kronorsmynt och -kronorsmynt). I dessa fall är det inte ovanligt att resultatet blir en oändlig decimalutveckling, vilket ses i följande exempel:

Exempel 1: Decimaltal till basen 3

Talet 1,510 i basen 3.

Valörerna talet ska växlas till är .

Det kan sägas att det finns två högar, en med mynt i bas 10, och en med mynt i bas 3. Genom att successivt växla från den ena högen till den andra genom att flytta största möjliga valör fås följande:

Antal i bas 10 Antal i bas 3

Fortsätter utvecklingen oändligt länge framkommer att 1,510 = 1,11111111...3. Talet 1,5 har alltså oändlig decimalutveckling i bas 3.

Exempel 2: Decimaltal till basen 4

Talet i basen 4.

På samma sätt som i förra exemplet:

Antal i bas 10 Antal i bas 4

Här tog det slut mycket snabbare:

Räkneoperationer i andra baser

De vanliga räknesätten kan utföras i andra positionssystem precis som i basen 10.

Exempel 1: Att addera två tal i en annan bas

Utför additionen .

Addera siffrorna var för sig precis som med vanlig addition, med undantaget att .

Värde
 
Minne 1 1 1    
Tal 1   1 2 1, 2
Tal 2   1 0 2, 0

Summa 1 0 0 0, 2

Svaret blir alltså .

Exempel 2: Subtrahera två tal i en annan bas

Beräkna

Här ställs en tabell upp som med vanlig subtraktion, och som vanligt så "lånas" från nästa siffra om det måste dras ett större tal från ett mindre.

(Att dra 11 enkronor från 1 enkrona och 3 stycken 14-kronor löses ju genom att 14-kronan växlas till enkronor, och på liknande sätt för större valörer.)

Värde
 
Minne   14    
Tal 1 0 12 5
Tal 2 1 9 1 4

Differens 1 5 11 1

Svaret blir .

Exempel 3: Multiplicera två tal i en annan bas

Utför multiplikationen talen

Uppställning för multiplikation:

Värde  
 
        1 0 2 1
        1 2 2

        2 1 1 2
      2 1 1 2  
  + 1 0 2 1    

Nu måste additionen utföras. Det görs extra tydligt här med minnessiffror. Kom ihåg att .

 
Minne     1 2 1 1    
        2 1 1 2
      2 1 1 2 0
  + 1 0 2 1 0 0

Summa     2 1 0 1 0 2

Alltså gäller det att

Källor

  1. ^ Kenneth H. Rosen (2011) (på engelska). Elementary Number Theory and Its Applications (6). sid. 45. ISBN 0321717759 

Read other articles:

Sisyani Jaffar Komandan PuspenerbalPetahanaMulai menjabat 2 Oktober 2023 PendahuluImam MusaniPenggantiPetahanaWakil Komandan PuspenerbalMasa jabatan31 Januari 2018 – 19 Juli 2021 PendahuluGuntur WahyudiPenggantiBayu Alisyahbana Informasi pribadiLahir15 April 1967 (umur 56)Kebumen, Jawa TengahAlma materAkademi Angkatan Laut (1993)Karier militerPihak IndonesiaDinas/cabang TNI Angkatan LautMasa dinas1993—sekarangPangkat Laksamana Muda TNINRP10702/PSatuanKorps Pela...

 

تشستنوت   الإحداثيات 41°04′55″N 74°03′05″W / 41.081944444444°N 74.051388888889°W / 41.081944444444; -74.051388888889  [1] تقسيم إداري  البلد الولايات المتحدة[2]  التقسيم الأعلى مقاطعة روكلاند  خصائص جغرافية  المساحة 12.84886 كيلومتر مربع12.874254 كيلومتر مربع (1 أبريل 2010)  ارتفاع 1...

 

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Final Fight Revenge – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (August 2018) (Learn how and when to remove this template message)1999 video gameFinal Fight RevengeDeveloper(s)Capcom Digital StudiosPublisher(s)CapcomDirector(s)Yoshiki Okamoto David SillerProd...

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوق بها. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (نوفمبر 2019) دوري هونغ كونغ لكرة القدم 1991–92 تفاصيل الموسم دوري هونغ كونغ الدرجة الأولى  [لغات أخرى]‏  النسخ�...

 

Médecine du travail Locaux de la Médecine du travail à Sens (Yonne, France) Données clés MeSH « D009787 » modifier La médecine du travail désigne en France, en Belgique et dans les autres pays qui ont adopté les particularités du système français, à la fois une spécialité médicale qui concerne la prévention des atteintes à la santé des travailleurs (accidents du travail, maladies professionnelles) et les Services de médecine du (ou de santé au) travail au sein...

 

← 2014 November 8, 2016 (2016-11-08) 2018 →   Candidate Amata Coleman Radewagen  Salu Hunkin- Finau  Mapu Jamias  Party Republican Democratic Democratic Popular vote 8,924 1,581 978 Percentage 75.4% 13.4% 8.3% Results by voting district:Aumua Amata Coleman Radewagen:      55–60%      60–65%      65–70%      70�...

American television series (1969–1976) Marcus Welby, M.D.Marcus Welby, M.D. title cardCreated byDavid VictorStarringRobert YoungJames BrolinTheme music composerLeonard RosenmanCountry of originUnited StatesOriginal languageEnglishNo. of seasons7No. of episodes170 (list of episodes)ProductionExecutive producerDavid VictorProducerDavid J. O'ConnellCamera setupSingle-cameraRunning time60 minutesProduction companyUniversal TelevisionOriginal releaseNetworkABCReleaseSeptember 23, 1969 (1969...

 

English actress Phyllis KonstamPhyllis Konstam in 1936Born(1907-04-14)14 April 1907London, EnglandDied20 August 1976(1976-08-20) (aged 69)Somerset, EnglandOccupationActressYears active1928–1964SpouseBunny AustinRelativesAnna Konstam (sister) Phyllis Esther Kohnstamm (14 April 1907 – 20 August 1976), known as Phyllis Konstam, was an English film actress born in London. She appeared in 12 films between 1928 and 1964, including four directed by Alfred Hitchcock. Life Phyllis Es...

 

Squash events for men and women organised by the Professional Squash Association Men's World ChampionshipDetailsEvent namePSA Men's World ChampionshipMen's PSA World TourCategoryWorld ChampionshipMost recent champion(s) Ali Farag Current2023 PSA Men's World Squash Championship Women's World ChampionshipDetailsEvent namePSA Women's World ChampionshipWomen's PSA World TourCategoryWorld ChampionshipMost recent champion(s) Nour El Sherbini Current2023 PSA Women's World Squash Championship The Wor...

American professional wrestler (born 1974) This biography of a living person needs additional citations for verification. Please help by adding reliable sources. Contentious material about living persons that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately from the article and its talk page, especially if potentially libelous.Find sources: Josef Samael – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (March 2010) (Learn how and when to remove t...

 

Questa voce sull'argomento atleti rumeni è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. Marieta Ilcu Nazionalità  Romania Altezza 172 cm Peso 62 kg Atletica leggera Specialità Salto in lungo Record Lungo 7,08 m (1989) Lungo 6,95 m (indoor – 1989) 60 m piani 760 (indoor – 1990) 100 m piani 1136 (1988) Palmarès Competizione Ori Argenti Bronzi Mondiali indoor 1 1 1 Universiadi 1 0 0 Europei 0...

 

Sports season2019 Suncorp Super Netball seasonLeagueSuncorp Super NetballSportNetballDuration27 April – 15 September 2019Number of teams8TV partner(s)Nine NetworkRegular season  Minor premiersSunshine Coast LightningSeason MVPJhaniele FowlerTop scorerJhaniele Fowler (WCF: 709 goals)FinalsChampionsNew South Wales Swifts  Runners-upSunshine Coast LightningSeasons← 20182020 → The 2019 Suncorp Super Netball season was the third season of the premier netball le...

1936 film by D. W. Griffith, W. S. Van Dyke San FranciscoOriginal Film PosterDirected byW. S. Van DykeWritten byRobert E. Hopkins Anita LoosProduced byJohn Emerson Bernard H. HymanStarringClark Gable Jeanette MacDonald Spencer Tracy Jack Holt Jessie Ralph Ted HealyCinematographyOliver T. MarshEdited byTom HeldMusic byWalter Jurmann Bronisław KaperEdward WardProductioncompanyMetro-Goldwyn-MayerDistributed byLoew's Inc.Release date June 26, 1936 (1936-06-26) Running time115 minu...

 

Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Gospel (disambigua). Questa voce o sezione sull'argomento musica è priva o carente di note e riferimenti bibliografici puntuali. Sebbene vi siano una bibliografia e/o dei collegamenti esterni, manca la contestualizzazione delle fonti con note a piè di pagina o altri riferimenti precisi che indichino puntualmente la provenienza delle informazioni. Puoi migliorare questa voce citando le fonti più precisamente. Segui i suggeri...

 

Association football league in Oman Football leagueOman Professional LeagueFounded1976; 48 years ago (1976)CountryOmanConfederationAFCNumber of teams14Level on pyramid1Relegation toOman First Division LeagueDomestic cup(s)Sultan Qaboos CupOman Super CupLeague cup(s)Oman Professional League CupInternational cup(s)AFC Challenge LeagueCurrent championsAl-Seeb (2023–24) (3rd title)Most championshipsDhofar (12 titles)TV partnersOman Sports TVWebsitewww.opl.omCurrent: 2024–25 ...

Para el personaje de cómics, véase Átomo (cómic). Representación de un átomo del elemento helio en la tierra. El átomo es la unidad fundamental de los elementos químicos. Consiste en un núcleo que contiene protones cargados positivamente y neutrones sin carga.[1]​ Cada sólido, líquido, gas y plasma se compone de átomos neutros o ionizados. Los átomos son microscópicos; los tamaños típicos son alrededor de 100 pm (diez mil millonésima parte de un metro).[2]​ ...

 

Gotha G.III Gotha G.III Typ Bomber Entwurfsland Deutsches Reich Deutsches Reich Hersteller Gothaer Waggonfabrik Erstflug 1916 Indienststellung –1917 Stückzahl 25 Die Gotha G.III war ein Langstreckenbomber der deutschen Fliegertruppe im Ersten Weltkrieg. Inhaltsverzeichnis 1 Entwicklung 2 Einsatz 3 Weiterentwicklungen 4 Technische Daten 5 Siehe auch 6 Literatur 7 Weblinks 8 Einzelnachweise und Anmerkungen Entwicklung Konstrukteur Hans Burkhard hatte bei der Gothaer Waggonfabrik bereit...

 

Rivalitas Chelsea F.C. dan Liverpool F.C.Para pemain Chelsea dan Liverpool memasuki lapangan Stamford Bridge sebelum pertandingan Liga Champions UEFA pada April 2008.LokasiLondonLiverpoolTim terlibatChelseaLiverpoolPertemuan pertama25 Desember 1907Divisi SatuLiverpool 1–4 ChelseaPertemuan termutakhir25 Februari 2024Piala EFL 2023–2024Chelsea 0–1 LiverpoolStadionStamford Bridge (Chelsea)Anfield (Liverpool)StatistikTotal pertemuan196Penampilan terbanyakJamie Carragher (45)Top skorIan Rush...

Les cellules tumorales circulantes dans la diffusion du cancer Les cellules tumorales circulantes (CTC) sont des cellules qui se déplacent avec le sang une fois passées dans le système vasculaire depuis une tumeur en développement, cellules susceptibles de générer de nouvelles tumeurs, appelées métastases, dans des organes vitaux éloignés, phénomène responsable de la grande majorité des décès liés au cancer[1]. Les métastases cancéreuses sont un processus complexe en plusieu...

 

この存命人物の記事には検証可能な出典が不足しています。 信頼できる情報源の提供に協力をお願いします。存命人物に関する出典の無い、もしくは不完全な情報に基づいた論争の材料、特に潜在的に中傷・誹謗・名誉毀損あるいは有害となるものはすぐに除去する必要があります。出典検索?: 尾上松也 2代目 – ニュース · 書籍 · スカラー �...