Hans far var en australisk fysiker och hans mor en engelsk hemmafru. När Finch var två år gammal skilde sig hans föräldrar och han växte upp hos släktingar i Frankrike, Indien och från tio års ålder i Sydney i Australien.
Han uppträdde på scen i Australien från 1935 och följande år gjorde han filmdebut. Han upptäcktes 1949 av Laurence Olivier som tog med honom till London, där Finch fick stor framgång såväl på scen som i film.
Han vann en Oscar postumt för Bästa manliga huvudroll (1976) för sin roll i filmen Network.