Inom matematiken är Milnors K-teori ett tidigt försök att definiera högre algebraisk K-teori, introducerat av Milnor (1970).
Definition
Beräkningen av K2 av en kropp F ledde Milnor till följande ad hoc-definition av högre K-grupper:
som graderade delar av ett kvot av tensoralgebran av multiplikativa gruppen F× av tvåsidiga idealet genererat av elementen
för a ≠ 0, 1. För n = 0,1,2 är dessa identiska med Quillens K-grupper för en kropp, men för n ≧ 3 är de i allmänhet olika. Vi definierar symbolen som bilden av : fallet n=2 är en Steinbergsymbol.[1]
Tensorprodukten på tensoralgebran inducerar en produkt som gör till en graderad ring som är superkommutativ.[2]
Exempel
- för n ≧ 2.
- är en överuppräknelig unikt delbar grupp.
- är direkta summan av en cyklisk grupp av ordning 2 och en överuppräknelig unikt delbar grupp.
- är direkta summan av multiplikativa gruppen av och en överuppräknelig unikt delbar grupp.
- är direkta summan av en cyklisk grupp av ordning 2 och cykliska grupper av ordning för alla udda primtal .
Användningar
Milnors K-teori har en fundamental roll i högre klasskroppsteori, där den ersätter i endimensionell klasskroppsteori.
Milnors K-teori modulo 2, betecknad med k*(F), är relaterad till étalekohomologin (eller Galoiskohomologin) av kroppen F enligt Milnors förmodan, bevisad av Voevodsky. Analogin för udda primtal är Bloch–Katos förmodan, bevisad av Voevodsky, Rost och andra.
Källor
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Milnor K-theory, 25 februari 2015.
Fotnoter
- ^ Lam (2005) p.316
- ^ Gille & Szamuely (2006) p.184
Vidare läsning