Kvotgrupp

En kvotgrupp är inom matematik, specifikt gruppteori, en grupp som bildas utifrån en större grupp med hjälp av en ekvivalensrelation, som i sin tur definieras med hjälp av en normal delgrupp. Ekvivalensrelationen definierar ekvivalensklasser som partitionerar den ursprungliga mängden. Partitionerna bildar då en grupp i sig själva.

I kategoriteori är kvotgrupper exempel på kvotobjekt. Exempel på andra kvotobjekt är kvotringar, kvotrum och kvotmängder.

Definition

Givet en grupp G kan man definiera multiplikation av delmängder till G genom:

XY=\{xy:x\in X,y\in Y\}.

Om N är en normal delgrupp till G kan man bilda mängderna av sidoklasser till N. Eftersom N är normal kommer vänstersidoklasserna och högersidoklasserna vara samma. Dessa sidoklasser bildar en grupp under multiplikation av delmängder. Mer noggrant, låt aN och bN vara sidoklasser till N. Då gäller att:

aNbN=a\cdot 1NbN=abb^{-1}NbN={\mbox{(N normal)}}=a(bNb^{-1})bN=abNb^{-1}bN=abNN=abN\,

så att produkten av två sidoklasser är återigen en sidoklass. Det neutrala elementet i kvotgruppen är sidoklassen $1\cdot N$ och det inversa elementet till $aN$ är $a^{-1}N$ .

Exempel

Gruppen av heltal under addition, Z, är en abelsk grupp, så varje delgrupp är normal. Ta delgruppen av jämna heltal, 2Z och bilda kvotgruppen Z/2Z. Det finns två sidoklasser till 2Z i Z: mängden av jämna heltal och mängden av udda heltal, så kvotgruppen Z/2Z är den cykliska gruppen med två element, isomorf med gruppen bestående av $\{0,1\}$ med operationen addition modulo 2.
Den multiplikativa abelska gruppen bestående av alla lösningar till ekvationen $z^{12}=1$ består av punkter på enhetscirkeln i det komplexa planet. En normal delgrupp är alla lösningar till ekvationen $z^{4}=1$ , markerade med röda prickar i bilden till höger, som partitionerar gruppen i tre sidoklasser. Kvotgruppen blir den cykliska gruppen med tre element.
Gruppen av reella tal under addition, R, med delgruppen av heltal Z, bildar kvotgruppen R/Z bestående av element r + Z där $0\leq r<1$ som är isomorf med cirkelgruppen $S^{1}$ bestående av alla komplexa tal med absolutbelopp 1. En isomorfi ges av

\phi (r+\mathbb {Z} )=e^{2\pi ir}

Egenskaper

Kvotgruppen G/G är isomorf med den triviala gruppen, gruppen med ett element, och G/{e}, där e är det neutrala element i G, är isomorf med G.

Ordningen av kvotgruppen G/N är detsamma som indexet för N.

Det finns en surjektiv grupphomomorfi $\pi :G\to G/N$ definierad av $\pi (g)=gN$ . $\pi$ kallas den kanoniska projektionen av G på G/N. Nollrummet av $\pi$ är N.

Om G är abelsk, lösbar, nilpotent eller cyklisk har även G/N den egenskapen.

Källor

Svensson, Per-Anders (2001). Abstrakt Algebra. Studentlitteratur. ISBN 91-44-01262-4
Rotman, Joseph (1995). An Introduction to the Theory of Groups. Springer Verlag. ISBN 3-540-94285-8

Read other articles:

Got a Crush on You

Got a Crush on You adalah sebuah seri drama televisi Tiongkok tahun 2023 yang disutradarai oleh Chung Shukai. Seri tersebut diadaptasi dari novel berjudul sama karangan Bei Qing. Seri tersebut diluncurkan pada 7 Desember 2013. Seri tersebut dibintangi oleh Xu Kaicheng dan Gulnezer Bextiyar yang masing-masing berperan sebagai Su Qingche dan Song Xingchen. Seri tersebut juga turut diperankan oleh Zhang He sebagai Lu Qun, Zhao Yaoke sebagai Han Xiaoli, Nina Wang sebagai Ding Weiling, Fan Yining ...

Zahir (politikus)

Ir H.ZahirM. AP.Bupati Zahir 2022 [[Bupati Batu Bara]] Ke-2Masa jabatan8 November 2018 – 27 Desember 2023PresidenJoko WidodoGubernurEdy RahmayadiWakilOky Iqbal Frima PendahuluOK Arya Zulkarnaen H. RM. Harry Nugroho, SEPenggantiNizhamul (pj) Informasi pribadiLahir29 Januari 1969 (umur 55)Air Hitam, Limapuluh, Batu BaraPartai politikPDI-PSuami/istriMaya Indrisari, S.E.Alma materUniversitas Muhammadiyah Sumatera UtaraUniversitas Medan AreaSunting kotak info • L �...

Séquestration du dioxyde de carbone

Représentation schématique de certains moyens de stocker le dioxyde de carbone. La séquestration du dioxyde de carbone, appelée plus simplement piégeage du carbone ou séquestration du carbone est le stockage à long terme du dioxyde de carbone hors de l'atmosphère. Elle est réalisée de manière naturelle par des processus biologiques et géologiques. Elle peut également être réalisée par la main de l'homme, via des processus biologiques ou des procédés industriels, et est alors...

Al-Qawa'idul Arba'

Artikel ini sebagian besar atau seluruhnya berasal dari satu sumber. Tolong bantu untuk memperbaiki artikel ini dengan menambahkan rujukan ke sumber lain yang tepercaya.Al-Qawa'idul Arba' PengarangMuhammad bin 'Abdul-WahhabNegaraNegara Saudi PertamaBahasaArabSubjekAkidah IslamTanggal terbitAbad ke-18 Al-Qawa'idul Arba' (Indonesia: Empat Landasan Utamacode: id is deprecated ) adalah kitab yang ditulis pada abad ke-18 oleh ulama Sunni, Syaikh Muhammad bin Abdul Wahhab. Kitab ini be...

1992 Philippine House of Representatives elections

1992 Philippine House of Representatives elections ← 1987 May 11, 1992 1995 → 200 (of the 216) seats in the House of Representatives of the Philippines101 seats needed for a majority Party % Seats +/– LDP 33.73 86 +86 Lakas 21.20 41 +41 NPC 18.66 30 +30 LP–PDP 8.82 11 +11 Nacionalista 3.92 7 +3 KBL 2.35 3 −8 Coalitions/others 6.28 16 −39 Independent 5.04 6 −17 This lists parties that won seats. See the complete results below. Speaker before Speaker after Ramon...

Ganges Delta

Delta of the Ganges River This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Ganges Delta – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2011) (Learn how and when to remove this template message) Ganges Delta, 2020 satellite photograph. The Ganges Delta (also known the Ganges-Brahmaputra Delta, the Sundar...

Lost Lagoon

This article is about the lake in Vancouver, Canada. For the 1958 film, see Lost Lagoon (film). Panorama of Lost Lagoon Lost Lagoon with Downtown Vancouver in the background. A view of Lost Lagoon looking North, with a swan in the foreground. Lost Lagoon, showing Jubilee Fountain decorated for Christmas in December 2006. Jubilee Fountain in 1936. It was later restored for the Expo 86 world's fair and again in 2010. Lost Lagoon, Stanley Park Vancouver Lost Lagoon is an artificial 16.6-hectare ...

Langport and Castle Cary Railway

English railway line vteLangport andCastle Cary Railway Legend miles from London Paddington Reading–Taunton lineto London via Westbury 115¼ Castle Cary Wilts, Somerset & Weymouth Rlyto Weymouth via Yeovil Pen Mill 117½ Alford Halt 120¼ Keinton Mandeville 122¼ Charlton Mackrell River Cary Somerton Somerton Tunnel 128¾ Long Sutton and Pitney 130¾ Langport East River Parrett Yeovil–Taunton lineto Yeovil Town Curry Rivel Junction 135¾ Athelney Bri...

1754

Cette page concerne l'année 1754 du calendrier grégorien. Pour l'année 1754 av. J.-C., voir 1754 av. J.-C. Chronologies Les empires coloniaux européens en 1754.Données clés 1751 1752 1753 1754 1755 1756 1757Décennies :1720 1730 1740 1750 1760 1770 1780Siècles :XVIe XVIIe XVIIIe XIXe XXeMillénaires :-Ier Ier IIe IIIe Chronologies thématiques Art Architecture, Arts plastiques (Dessin, Gravure, Peinture et Sculpture), (), ...

Rural Municipality of Round Hill No. 467

Rural municipality in Saskatchewan, Canada See also: Round Hill (disambiguation) Rural municipality in Saskatchewan, CanadaRound Hill No. 467Rural municipalityRural Municipality of Round Hill No. 467Location of the RM of Round Hill No. 467 in SaskatchewanCoordinates: 53°04′26″N 108°00′07″W / 53.074°N 108.002°W / 53.074; -108.002[1]CountryCanadaProvinceSaskatchewanCensus division16SARM division6Formed[2]December 11, 1911Government[3]&...

Hampshire Rugby Football Union

Rugby teamHampshire RFUFull nameHampshire Rugby Football UnionUnionRFUFounded1883; 141 years ago (1883)RegionHampshire, Isle of Wight, Channel IslandsChairmanMr Gary SelfCEOJulie GreensladePresidentDr Ed Neville Team kit Official websitewww.hampshirerugby.co.uk Hampshire Rugby Football Union is the governing body for rugby union in the county of Hampshire, England. It represent clubs sides not just from Hampshire but also from the Isle of Wight and the Channel Islands, who ...

Blida

Questa voce sull'argomento centri abitati della provincia di Blida è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Blidacomuneالبليدة Blida – Veduta LocalizzazioneStato Algeria ProvinciaBlida DistrettoBlida TerritorioCoordinate36°28′20″N 2°50′00″E36°28′20″N, 2°50′00″E (Blida) Altitudine192 m s.l.m. Superficie72,1 km² Abitanti265 000 (2005) Densità3 675,45 ab./km² Altre informazioniCod. po...

العلاقات الإثيوبية الإيطالية

العلاقات الإثيوبية الإيطالية إثيوبيا إيطاليا إثيوبيا إيطاليا تعديل مصدري - تعديل العلاقات الإثيوبية الإيطالية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين إثيوبيا وإيطاليا.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدولتين: وجه ال...

Conrad Black

Canadian and British newspaper publisher (born 1944) The Right HonourableThe Lord Black of CrossharbourBlack in 2013Member of the House of LordsLord TemporalIn office30 October 2002 – 9 July 2024Life peerage Personal detailsBornConrad Moffat Black (1944-08-25) 25 August 1944 (age 79)Montreal, Quebec, CanadaNationality Canadian (1944–2001, 2023–present) British (1999–present) Political partyNon-affiliated (2007–2024)Other politicalaffiliationsConservative (2001–2007)S...

Natural selection

Mechanism of evolution by differential survival and reproduction of individualsFor the Brad Laner album, see Natural Selections. For other uses, see Natural selection (disambiguation). A diagram demonstrating mutation and selection Modern biology began in the nineteenth century with Charles Darwin's work on evolution by natural selection Part of a series onEvolutionary biologyDarwin's finches by John Gould Index Introduction Main Outline Glossary Evidence History Processes and outcomes Popula...

Little by Little (Oasis song)

2002 single by Oasis Little by LittleSingle by Oasisfrom the album Heathen Chemistry A-sideShe Is LoveB-sideMy GenerationReleased19 September 2002 (2002-09-19)GenreRockLength4:54LabelBig BrotherSongwriter(s)Noel GallagherProducer(s)OasisOasis singles chronology Stop Crying Your Heart Out (2002) Little by Little / She Is Love (2002) Songbird (2003) Music videoOasis - Little By Little (Official Video) on YouTube Little by Little is a song by English rock band Oasis, first release...

Eclat

eclatジャンルファッション読者対象女性刊行頻度月刊発売国日本言語日本語出版社集英社刊行期間 2007年 - 現在ウェブサイト https://eclat.hpplus.jp/テンプレートを表示 eclat（エクラ）とは、集英社が発売している婦人向けファッション雑誌である。 50歳前後の主婦層を主なターゲットとし、毎月1日（日祝日・年末年始の場合1～5日程度前倒し）発売。概要 2007年3月1日に�...

Drought

Period with less precipitation than normal For other uses, see Drought (disambiguation). Droughts cause a range of impacts and are often worsened by the effects of climate change on the water cycle: a dry riverbed in France; sandstorm in Somaliland due to drought; droughts negatively impact agriculture in Texas; drought and high temperatures worsened the 2020 bushfires in Australia. A drought is a period of drier-than-normal conditions.[1]: 1157 A drought can last for...

Седов, Валентин Васильевич

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Седов. Валентин Васильевич Седов Дата рождения 21 ноября 1924(1924-11-21) Место рождения Ногинск, Московская губерния, РСФСР, СССР Дата смерти 4 октября 2004(2004-10-04) (79 лет) Место смерти Москва, Россия Страна СССР → ...

Italioti

A questa voce o sezione va aggiunto il template sinottico {{Popolo}} Puoi aggiungere e riempire il template secondo le istruzioni e poi rimuovere questo avviso. Se non sei in grado di riempirlo in buona parte, non fare nulla; non inserire template vuoti. La terra degli italioti secondo i greci Una sezione continentale della Magna Grecia attorno al 280 a.C. Gruppi etnici della penisola italiana nell'età del ferro: Liguri ...