Kvadratiska reciprocitetssatsen

Den kvadratiska reciprocitetssatsen, förmodad av Euler och Legendre och först bevisad av Gauss, kopplar samman lösbarheten av två relaterade kvadratiska kongruenser inom modulär aritmetik. Satsen, som av Gauss benämndes Theorema Aureum, det gyllene teoremet, gör det möjligt att bestämma lösbarheten för alla kvadratiska kongruenser inom modulär aritmetik.

Antag att p och q är två olika udda primtal. Om åtminstone en av dem är kongruent 1 modulo 4 så har kongruensen

x^{2}\equiv p\ ({\rm {mod}}\ q)

en lösning x om och endast om kongruensen

y^{2}\equiv q\ ({\rm {mod}}\ p)

har en lösning y. (De två lösningarna är i allmänhet olika.) Om å andra sidan båda primtalen är kongruenta 3 modulo 4 så har kongruensen

x^{2}\equiv p\ ({\rm {mod}}\ q)

en lösning x om och endast om kongruensen

y^{2}\equiv q\ ({\rm {mod}}\ p)

saknar lösning.

En alternativ formulering av satsen kan skrivas:

Antingen är båda ekvationerna ovan lösbara eller ingen av dem, såvida inte både p och q är av typen 4n + 3, för i så fall är antingen den ena eller den andra ekvationen lösbar.

Om man använder Legendresymbolen $\left({\frac {p}{q}}\right)$ , så kan detta sammanfattas som

\left({\frac {p}{q}}\right)\cdot \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.

Lemmermeyer samlade år 2000 i en bok 196 olika publicerade bevis för den kvadratiska reciprocitetssatsen. Per 2018 finns nästan 250 olika bevis framlagda för denna sats.

Det finns en kubisk reciprocitetsats och andra högre reciprocetetssatser.

Referenser

Riesel, Hans: Avsnittet "The Law of Quadratic Reciprocity", pp. 279-281 i Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed., Birkhäuser, Boston, MA, 1994.
Nathanson, Melvyn B. (2000). Elementary methods in Number Theory. Springer Verlag. sid. 109. ISBN 0-387-98912-9
Lemmermeyer, Franz (2000). Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein. Springer Verlag. ISBN 3540669574

Externa länkar

F. Lemmermeyers kronologi och bibliografi över bevis för den kvadratiska reciprocitetssatsen (2018-11-20: 246 bevis)

Read other articles:

Ángel Romero

Nama ini menggunakan cara penamaan Spanyol: nama keluarga pertama atau paternalnya adalah Romero dan nama keluarga kedua atau maternalnya adalah Villamayor. Ángel Romero Informasi pribadiNama lengkap Ángel Rodrigo Romero VillamayorTanggal lahir 4 Juli 1992 (umur 31)Tempat lahir Fernando de la Mora, ParaguayTinggi 177 cm (5 ft 10 in)Posisi bermain SayapInformasi klubKlub saat ini San LorenzoNomor 11Karier junior2008–2011 Cerro PorteñoKarier senior*Tahun Tim Tampil...

Daniel C. Burbank

Daniel C. BurbankLahir27 Juli 1961 (umur 62)Manchester, Connecticut, ASStatusPurnawirawan[1]KebangsaanAmerika SerikatPekerjaanGarda PesisirKarier luar angkasaAntariksawan NASAPangkatKapten Garda Pesisir Amerika SerikatWaktu di luar angkasa188 hariSeleksi1996 NASA GroupMisiSTS-106, STS-115, Soyuz TMA-22 (Ekspedisi 29/30)Lambang misi Daniel Christopher Burbank (lahir 27 Juli 1961) adalah seorang purnawirawan[1] antariksawan Amerika Serikat dan veteran dua misi pesawat ulan...

Argo

Untuk film tahun 2012, lihat Argo (film 2012). Untuk kegunaan lain, lihat Argo (disambiguasi). Kapal Argo (ca. 1500-1530), lukisan oleh Lorenzo Costa Dalam mitologi Yunani, Argo (Greek: Ἀργώcode: el is deprecated ) adalah nama kapal laut yang digunakan oleh Iason dan para Argonaut untuk berlayar dari Iolkos ke Kolkhis dalam rangka mencari Bulu Domba Emas. Kapal itu dinamai sesuai nama pembuatnya, Argos. Pranala luar (Inggris) Pelayaran Argo - slideshow oleh The First Post

Venaco

Pour les articles homonymes, voir Venaco (homonymie). Venaco Vue de Venaco depuis le col de Bella Granajo : Lugo-di-Venaco au premier plan,Serraggio au second. Héraldique Administration Pays France Collectivité territoriale unique Corse Arrondissement Corte Intercommunalité CC du Centre Corse Maire Mandat David Piferini 2022-2026 Code postal 20231 Code commune 2B341 Démographie Gentilé Venachesi Populationmunicipale 666 hab. (2021 ) Densité 12 hab./km2 Géographie Coordo...

Daftar Ketua Dewan Perwakilan Rakyat Jepang

Ketua Dewan Perwakilan Rakyat JepangPetahanaHiroyuki Hosodasejak 10 November 2021Dewan Perwakilan RakyatGelarKetua (informal)Yang Terhormat (formal)Ditunjuk olehDPRMasa jabatanempat tahun; dapat diperbarui hanya jika terjadi pembubaranDasar hukumKonstitusi JepangDibentuk29 November 1890; 133 tahun lalu (1890-11-29)WakilWakil Ketua Dewan Perwakilan Rakyat(衆議院副議長 Shūgiin-fukugichō)Banri Kaieda(sejak 10 November 2021) Ketua Dewan Perwakilan Rakyat (衆議院議長, Shūgi...

Students for a Free Tibet

Students for a Free TibetTanggal pendirian1994TipeNirlabaLokasi602 East 14th Street, 2nd Floor New York, NY, ASBidangKemerdekaan Tibet, hak asasi manusia, kebebasan beragamaSitus webhttp://studentsforafreetibet.org Anggota Students for a Free Tibet memrotes Cina di depan Gedung Putih Students For a Free Tibet adalah jaringan mahasiswa dan aktivis global yang bekerja sama dengan bangsa Tibet untuk memperoleh hak asasi manusia dan kebebasan. Grup ini menggunakan pendidikan, advokasi, dan aksi l...

Bright Eyes in the Dark

Bright Eyes in the Dark adalah sebuah seri drama romansa televisi Tiongkok tahun 2023. Seri tersebut tayang perdana di iQiyi pada 19 September 2023. Seri tersebut menampilkan Zhang Jingyi, Huang Jingyu dan Daddy Tang.[1] Sinopsis Lin Lu Xiao merupakan seorang pria yang bekerja sebagai pemadam kebakaran yang telah memiliki pengalaman dan keahlian yang luar biasa. Lin Lu Xiao ditugaskan di kota Beixun. Setelah pengalamannya dalam bidang ini, Lin Lu Xiao terpilih menjadi instruktur dalam...

Aphrodisium niisatoi

Aphrodisium niisatoi Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Animalia Filum: Arthropoda Kelas: Insecta Ordo: Coleoptera Famili: Cerambycidae Genus: Aphrodisium Spesies: Aphrodisium niisatoi Aphrodisium niisatoi adalah spesies kumbang tanduk panjang yang tergolong famili Cerambycidae. Spesies ini juga merupakan bagian dari genus Aphrodisium, ordo Coleoptera, kelas Insecta, filum Arthropoda, dan kingdom Animalia. Larva kumbang ini biasanya mengebor ke dalam kayu dan dapat menyebabkan kerusakan pada batan...

Football Club Infonet Levadia

FCI Levadia TallinnCalcio Terasetootjaid (Acciaieri) Segni distintivi Uniformi di gara Casa Trasferta Colori sociali Verde, bianco Dati societari Città Tallinn Nazione Estonia Confederazione UEFA Federazione EJL Campionato Meistriliiga Fondazione 1998 Presidente Viktor Levada Allenatore Curro Torres Stadio A. Le Coq Arena(14.336 posti) Sito web www.fclevadia.ee Palmarès Titoli nazionali 10 Meistriliiga Trofei nazionali 10 Coppe d'Estonia8 Supercoppe d'Estonia Dati aggiornati al 3...

Miwa (singer)

Japanese singer-songwriter (born 1990) miwaMiwa in 2014Background informationBorn (1990-06-15) 15 June 1990 (age 33)Hayama, Kanagawa, JapanGenres Pop pop rock Occupation(s) Singer songwriter Instrument(s) Vocals guitar piano[1] Years active2007–presentLabelsprivate[2] (2007–2008)Sony Music Entertainment Japan (2010–present)Websitewww.miwa-web.comMusical artist Miwa (stylised as miwa) (born 15 June 1990) is a Japanese singer-songwriter. She debuted in 2010 with the s...

Emilia Clarke

British actress (born 1986) Emilia ClarkeMBEClarke in 2015BornEmilia Isobel Euphemia Rose Clarke (1986-10-23) 23 October 1986 (age 37)London, EnglandAlma materDrama Centre LondonOccupationActressYears active2009–presentAwardsFull list Emilia Isobel Euphemia Rose Clarke MBE (born 23 October 1986) is an English actress. She is best known for her portrayal of Daenerys Targaryen in the HBO fantasy series Game of Thrones (2011–2019), for which she received nominations for four P...

Wendron United F.C.

Association football club in England Football clubWendron United AFCFull nameWendron United AFCNickname(s)The DronFounded1986GroundThe Underlane, WendronCapacity1,000[1]ChairmanPeter ThorneManagerMichael O'NeillLeagueSouth West Peninsula League Premier Division West2023–24South West Peninsula League Premier Division West, 5th of 17 Wendron United Football Club is a football club based in Wendron, Cornwall. They are currently members of the South West Peninsula League Premier Divisio...

土库曼斯坦总统

土库曼斯坦总统土库曼斯坦国徽土库曼斯坦总统旗現任谢尔达尔·别尔德穆哈梅多夫自2022年3月19日官邸阿什哈巴德总统府（Oguzkhan Presidential Palace）機關所在地阿什哈巴德任命者直接选举任期7年，可连选连任首任萨帕尔穆拉特·尼亚佐夫设立1991年10月27日土库曼斯坦土库曼斯坦政府与政治国家政府土库曼斯坦宪法国旗国徽国歌立法機關（英语：National Council of Turkmenistan） ...

1. Klasse 1912-1913

1. Klasse 1912-1913 Competizione Fußball-Bundesliga Sport Calcio Edizione 2ª Organizzatore Niederösterreichischer Fussballverband Date dal 1º settembre 1912al 29 giugno 1913 Luogo Austria Partecipanti 10 Formula Girone unico con partite di andata e ritorno. Risultati Vincitore Rapid Vienna(2º titolo) Retrocessioni Hertha Vienna Statistiche Miglior marcatore Johann Neumann (17) Johann Studnicka (17) Richard Kuthan (17) Incontri disputati 90 Gol segnati...

St. Charles Borromeo Seminary

For the seminary in Košice, see St Charles Borromeo Seminary. St. Charles Borromeo SeminaryMottoExiit qui seminat The sower went forth to sowTypeSeminary PrivateEstablishedJune 1832Religious affiliationRoman Catholic ChurchRectorKeith J. ChylinskiLocationWynnewood, Pennsylvania, United States39°59′31″N 75°15′22″W / 39.99194°N 75.25611°W / 39.99194; -75.25611Websitewww.scs.edu Saint Charles Borromeo Seminary is a Roman Catholic seminary in Wynnewood, Pennsy...

哈萨克斯坦总统

此条目序言章节没有充分总结全文内容要点。 (2019年3月21日)请考虑扩充序言，清晰概述条目所有重點。请在条目的讨论页讨论此问题。哈萨克斯坦總統哈薩克總統旗現任Қасым-Жомарт Кемелұлы Тоқаев卡瑟姆若马尔特·托卡耶夫自2019年3月20日在任任期7年首任努尔苏丹·纳扎尔巴耶夫设立1990年4月24日（哈薩克蘇維埃社會主義共和國總統）哈萨克斯坦哈萨克斯坦政府...

IRAK2

Protein-coding gene in humans IRAK2Available structuresPDBOrtholog search: PDBe RCSB List of PDB id codes3MOPIdentifiersAliasesIRAK2, IRAK-2, interleukin 1 receptor associated kinase 2External IDsOMIM: 603304 MGI: 2429603 HomoloGene: 1207 GeneCards: IRAK2 Gene location (Human)Chr.Chromosome 3 (human)[1]Band3p25.3Start10,164,919 bp[1]End10,243,745 bp[1]Gene location (Mouse)Chr.Chromosome 6 (mouse)[2]Band6 E3|6 52.82 cMStart113,615,428 bp[2]End113,67...

Catherine Sforza

Pour les autres membres de la famille, voir Famille Sforza. Catherine SforzaPortrait de Catherine Sforzaou La Dame aux jasminsœuvre de Lorenzo di CrediFonctionReine d'ItalieTitre de noblesseComtesseBiographieNaissance Vers 1463MilanDécès 28 mai 1509FlorenceSépulture Le Murate (d)Nom dans la langue maternelle Caterina SforzaActivité Femme politiqueFamille Famille SforzaPère Galéas Marie SforzaMère Lucrezia LandrianiFratrie Jean Galéas Sforza (frère consanguin)Blanche-Marie Sfor...

Sir John Gilmour, 2nd Baronet

British politician For his son, the Conservative MP for Fife East, see Sir John Gilmour, 3rd Baronet. Lieutenant Colonel The Right HonourableSir John GilmourBt GCVO DSO* TD PC JP DL MPHome SecretaryIn office1 October 1932 – 7 June 1935Prime MinisterRamsay MacDonaldPreceded bySir Herbert SamuelSucceeded bySir John Simon Personal detailsBorn27 May 1876Montrave, Fife, ScotlandDied30 March 1940(1940-03-30) (aged 63)London, EnglandNationalityBritishPolit...

الدوري البحريني الممتاز 1982–83

هذه المقالة تحتاج للمزيد من الوصلات للمقالات الأخرى للمساعدة في ترابط مقالات الموسوعة. فضلًا ساعد في تحسين هذه المقالة بإضافة وصلات إلى المقالات المتعلقة بها الموجودة في النص الحالي. (يناير 2018) الدوري البحريني الممتاز 1982–83معلومات عامةالرياضة كرة القدم البطولة الدوري الب...