PROFILPELAJAR.COM

Теорема (латински: theōrēma, од грчког: theōrein што у преводу значи посматрати) је идеја чија се истинитост може доказати принципима дедуктивног закључивања. Разликује се од аксиома по томе што се њена истинитост може утврдити и за то служи поступак доказивања, односно извођења доказа. Лема је теорема која је међукорак у извођењу општије теореме. Короларија је теорема која је директна последица неке основне теореме или аксиома.

У математици, теорема је тврдња која је доказана или се може доказати.^[а]^[2]^[3] Доказ теореме је логички аргумент који користи правила закључивања дедуктивног система да би утврдио да је теорема логична последица аксиома и претходно доказаних теорема.

У главном току математике, аксиоми и правила закључивања се обично остављају имплицитно, и, у овом случају, они су скоро увек они из Зермело-Франкелове теорије скупова са аксиомом избора или мање моћне теорије, као што је Пеано аритметика. Значајан изузетак је Вајлсов доказ Фермаове последње теореме, који укључује Гротендикове универзуме чије постојање захтева додавање новог аксиома теорији скупова.^[б] Генерално, тврдња која се експлицитно назива теорема је доказан резултат који није непосредна последица других познатих теорема. Штавише, многи аутори квалификују као теореме само најважније резултате, а користе термине лема, пропозиција и последица за мање важне теореме.

У математичкој логици, концепти теорема и доказа су формализовани како би се омогућило математичко резоновање о њима. У овом контексту, искази постају добро обликоване формуле неког формалног језика. Теорија се састоји од неких основних исказа који се називају аксиоми, и неких дедуцирајућих правила (понекад укључених у аксиоме). Теореме теорије су тврдње које се могу извести из аксиома коришћењем правила дедукције.^[в] Ова формализација је довела до теорије доказа, која омогућава доказивање општих теорема о теоремама и доказима. Конкретно, Геделове теореме о некомплетности показују да свака конзистентна теорија која садржи природне бројеве има истините исказе о природним бројевима који нису теореме теорије (то јест, не могу се доказати унутар теорије).

Како су аксиоме често апстракције својстава физичког света, теореме се могу сматрати изразом неке истине, али за разлику од појма научног закона, који је експерименталан, оправдање истинитости теореме је чисто дедуктивно.^[4]^[5]

Епистемолошка разматрања

Многе математичке теореме су условне изјаве, чији докази изводе закључке из услова познатих као хипотезе или премисе. У светлу тумачења доказа као оправдања истине, закључак се често посматра као неопходна последица хипотеза. Наиме, закључак је тачан у случају да су хипотезе тачне — без икаквих даљих претпоставки. Међутим, кондиционал се такође може различито тумачити у одређеним дедуктивним системима, у зависности од значења која се приписују правилима извођења и условном симболу (нпр. некласична логика).

Пошто теореме леже у сржи математике, оне су такође централне за њену естетику. Теореме се често описују као „тривијалне“, или „тешке“, или „дубоке“, или чак „лепе“. Ови субјективни судови се разликују не само од особе до особе, већ и од времена и културе: на пример, како се добије доказ, поједностављен или боље схваћен, теорема која је некада била тешка може постати тривијална.^[6] С друге стране, дубока теорема се може изрећи једноставно, али њен доказ може укључивати изненађујуће и суптилне везе између различитих области математике. Последња Фермаова теорема је посебно познат пример такве теореме.^[7]

Неформални приказ теорема

Логички, многе теореме су у облику индикативног кондиционала: Ако је А, онда је Б. Таква теорема не истиче Б — само да је Б неопходна последица А. У овом случају, А се назива хипотеза теореме („хипотеза” овде значи нешто сасвим другачије од претпоставке), и Б је закључак теореме. Они заједно (без доказа) се називају пропозицијом или исказом теореме (нпр. „Ако је А, онда је Б“ пропозиција). Алтернативно, А и Б се такође могу назвати претходним и последичним.^[8] Теорема „Ако је n паран природан број, онда је n/2 природан број“ је типичан пример у коме је хипотеза „n је паран природан број“, а закључак је „n/2 је такође природан број број".

Неке теореме су „тривијалне“, у смислу да следе из дефиниција, аксиома и других теорема на очигледан начин и не садрже никакве изненађујуће увиде. Неки се, с друге стране, могу назвати „дубоким“, јер њихови докази могу бити дуги и тешки, укључивати области математике које се површно разликују од изјаве саме теореме, или показују изненађујуће везе између различитих области математике.^[9] Теорема може бити једноставна за навођење, а ипак дубока. Одличан пример је последња Фермаова теорема,^[7] и постоји много других примера једноставних, али дубоких теорема у теорији бројева и комбинаторици, између осталих области.

Друге теореме имају познат доказ који се не може лако записати. Најистакнутији примери су теорема о четири боје и Кеплерова претпоставка. Познато је да су обе ове теореме тачне само тако што се могу свести на рачунарску претрагу која се затим верификује рачунарским програмом. У почетку, многи математичари нису прихватили овај облик доказа, али је временом постао широко прихваћен. Математичар Дорон Зеилбергер је чак отишао толико далеко да тврди да су ово можда једини нетривијални резултати које су математичари икада доказали.^[10] Многе математичке теореме се могу свести на једноставно израчунавање, укључујући полиномске идентитете, тригонометријске идентитете^[11] и хипергеометријске идентитете.^[12]

Познате математичке теореме

Питагорина теорема, Талесова теорема, последња Фермаова теорема, Централна гранична теорема...

Теореме у техничким наукама

У основи су такође математичке само се изводе од основних физичких закона односно имају конкретно физичко тумачење.

Никвистова теорема о одабирању, Шенонова теорема, Гаусова теорема, теорема о топлоти (3. закон термодинамике)...

Теореме у другим наукама

Постоје и у економији, хемији итд.

Напомене

^ Уопштено говорећи, разлика је слаба, пошто се стандардни начин да се докаже да је изјава доказива састоји од њеног доказивања. Међутим, у математичкој логици се често разматра скуп свих теорема неке теорије, иако се не могу доказати појединачно.
^ Чињеница да Вајлсов доказ укључује Гротендикове универзуме не значи да се доказ не може побољшати да би се ово избегло, и многи стручњаци мисле да је то могуће. Ипак, прилично је запањујуће да доказ теореме која је наведена у виду елементарне аритметике укључује постојање Гротендикових универзума, који су веома велики бесконачни скупови.
^ Теорија се често поистовећује са скупом њених теорема. Ово се овде избегава ради јасноће, а такође и због тога да не би завило од теорије скупова.

Референце

^ Elisha Scott Loomis. „The Pythagorean proposition: its demonstrations analyzed and classified, and bibliography of sources for data of the four kinds of proofs” (PDF). Education Resources Information Center. Institute of Education Sciences (IES) of the U.S. Department of Education. Приступљено 2010-09-26. Originally published in 1940 and reprinted in 1968 by National Council of Teachers of Mathematics.
^ „Definition of THEOREM”. www.merriam-webster.com (на језику: енглески). Приступљено 2019-11-02.
^ „Theorem | Definition of Theorem by Lexico”. Lexico Dictionaries | English (на језику: енглески). Архивирано из оригинала 02. 11. 2019. г. Приступљено 2019-11-02.
^ Markie, Peter (2017), „Rationalism vs. Empiricism”, Ур.: Zalta, Edward N., The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2017 изд.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, Приступљено 2019-11-02
^ However, both theorems and scientific law are the result of investigations. See Heath 1897 Introduction, The terminology of Archimedes, p. clxxxii:"theorem (θεὼρνμα) from θεωρεἳν to investigate"
^ Weisstein, Eric W. „Theorem”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2019-11-02.
^ ^а ^б Darmon, Henri; Diamond, Fred; Taylor, Richard (2007-09-09). „Fermat's Last Theorem” (PDF). McGill University – Department of Mathematics and Statistics. Приступљено 2019-11-01.
^ „Implication”. intrologic.stanford.edu. Архивирано из оригинала 19. 06. 2021. г. Приступљено 2019-11-02.
^ Weisstein, Eric W. „Deep Theorem”. MathWorld.
^ Doron Zeilberger. „Opinion 51”.
^ Such as the derivation of the formula for $\tan(\alpha +\beta )$ from the addition formulas of sine and cosine.
^ Petkovsek et al. 1996.

Литература

Boolos, George; Burgess, John; Jeffrey, Richard (2007). Computability and Logic (5th изд.). Cambridge University Press.
Chiswell, Ian; Hodges, Wilfred (2007). Mathematical Logic. Oxford University Press.
Enderton, Herbert (2001). A Mathematical Introduction to Logic (2nd изд.). Harcourt Academic Press.
Heath, Sir Thomas Little (1897). The works of Archimedes. Dover. Приступљено 2009-11-15.
Hedman, Shawn (2004). A First Course in Logic. Oxford University Press.
Hinman, Peter (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. Wellesley, MA: A K Peters.
Hoffman, P. (1998). The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. Hyperion, New York. ISBN 1-85702-829-5.
Hodges, Wilfrid (1993). Model Theory. Cambridge University Press.
Hunter, Geoffrey (1996) [1973]. Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First Order Logic. University of California Press. ISBN 0-520-02356-0.
Johnstone, P. T. (1987). Notes on Logic and Set Theory. Cambridge University Press.
Mates, Benson (1972). Elementary Logic. Oxford University Press. ISBN 0-19-501491-X.
Monk, J. Donald (1976). Mathematical Logic. Springer-Verlag.
Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). A = B. A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. ISBN 1-56881-063-6. Архивирано из оригинала 15. 04. 2021. г. Приступљено 20. 12. 2021.
Rautenberg, Wolfgang (2010). A Concise Introduction to Mathematical Logic (3rd изд.). Springer.
van Dalen, Dirk (1994). Logic and Structure (3rd изд.). Springer-Verlag.
Mendelson, Elliot (1987). Introduction to mathematical logic. ISBN 0-534-06624-0. Belmont, California: Wadsworth & Brooks.
Davidson Reynolds, Paul (1971). A primer in theory construction. Boston: Allyn and Bacon. .
Guillaume, Astrid (2015). « Intertheoricity: Plasticity, Elasticity and Hybridity of Theories. Part II: Semiotics of Transferogenesis », in Human and Social studies, Vol.4, N°2 (2015), éd.Walter de Gruyter, Boston, Berlin, pp. 59–77.
Guillaume, Astrid (2015). « The Intertheoricity : Plasticity, Elasticity and Hybridity of Theories », in Human and Social studies, Vol.4, N°1 (2015), éd.Walter de Gruyter, Boston, Berlin, pp. 13–29.
Hawking, Stephen (1996). A Brief History of Time. (Updated and expanded ed.). New York: Bantam Books, p. 15.
James, Paul (2006). Globalism, Nationalism, Tribalism: Bringing Theory Back In. London, England: Sage Publications.
Matson, Ronald Allen, „Comparing scientific laws and theories”, Biology, Kennesaw State University, Архивирано из оригинала 09. 07. 2017. г., Приступљено 20. 12. 2021 .
Popper, Karl (1963), Conjectures and Refutations, Routledge and Kegan Paul, London, UK, pp. 33–39. Reprinted in Theodore Schick (ed., 2000), Readings in the Philosophy of Science, Mayfield Publishing Company, Mountain View, California, USA, pp. 9–13.
Zima, Peter V. (2007). "What is theory? Cultural theory as discourse and dialogue". London: Continuum (translated from: Was ist Theorie? Theoriebegriff und Dialogische Theorie in der Kultur- und Sozialwissenschaften. Tübingen: A. Franke Verlag, 2004).