Суперелипса или Ламеова крива је затворена крива која подсећа на елипсу, задржавајући геометријске карактеристике полу-главне осе и полу-мале осе и симетрије око њих али другачијег облика. Специјални случајеви ових кривих, а припадају фамилији суперелипса су: ружа- криве, супер-ружа криве и суперспирале.

Нека x и y Декартове координате у равни ${\displaystyle \mathrm {E} ^{2}}$. Тада је једначина круга полупречника r, чији је центар у координатном почетку О дата са

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$,

и једначина елипсе са полуосама ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b\neq {a}}$ , са центром у координатном почетку О дата са

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}$

Француски математичар Gabriel Lamé (1795-1870), бавио се проучавањем ових кривих и увео је фамилију тзв. „суперелипси“. Према Ламеу, кругови и елипсе, исто као квадрати и правоугаоници, укључени су у фамилију тзв. „суперелипси“ тј. равних кривих датих Декартовим једначинама облика

(1) ${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1}$

при чему су ${\displaystyle a,b,n}$  позитивни бројеви.

Формула (1) дефинише затворену криву која се налази у правоугаонику ${\displaystyle -a\leq x\leq a}$ и ${\displaystyle -b\leq x\leq b}$ . Параметри ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ се називају полупречник кривине.

Када је ${\displaystyle n}$  између 0 и 1, суперелипса има облик звезде, док за ${\displaystyle n={\frac {1}{2}}}$, краци те звезде су направљени од лукова параболе.

Ако је ${\displaystyle n=1}$, крива је дијамант са теменима ,${\displaystyle {\bigl (}\pm a,0{\bigr )}}$ и ${\displaystyle {\bigl (}0,\pm b{\bigr )}}$, ако је ${\displaystyle n}$ између 1 и 2, изгледа као дијамант са истим теменима али са конвексне (споља закривљене) стране.

Ако је ${\displaystyle n=2}$  крива је обична елипса, а ако је ${\displaystyle n}$ веће од 2, та површина изгледа као правоугаоник са угловима.^[1]

Преласком на поларне координате ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \theta }$, тако да је

${\displaystyle {\begin{cases}\rho \cos \theta \\\rho \sin \theta \end{cases}}}$

Где уз то уводећи коефицијент ${\displaystyle m/4}$ (који допушта увођење специфичних ротационих симетрија око 0 од оних који се односе на четири квадранта координатног система). Заменом поларних координата у једначину (1) добијамо:

(2) ${\displaystyle \rho =\{|{\frac {\cos mq/4}{a}}|^{n_{2}}+|{\frac {\sin mq/4}{b}}|^{n_{3}}\}^{-1/n_{1}}}$

при чему ${\displaystyle n_{1}\in R_{0},n_{2},n_{3}\in R}$.

Равне криве дате помоћу поларне једначине (2), при чему је у сваком случају ${\displaystyle a=b}$  приказене су на слици 4.

Равне криве дате помоћу поларних једначина (2) могу се у извесном смислу интерпретирати, тако као да су добијене полазећи од јединичног круга са центром у 0, ${\displaystyle \rho =1}$, помоћу трансформације задате десном страном једначине (2) за било који избор параметра ${\displaystyle a,b,m,n_{1},n_{2},n_{3}.}$

Ове раванске криве одређене су помоћу поларних једначина ${\displaystyle \rho =f(\theta )}$ где  у ${\displaystyle f}$ основи може бити произвољна позитивна реална функција. Њихова поларна једначина је:

(3) ${\displaystyle \rho =f(\theta )\cdot \{|{\frac {\cos mq/4}{a}}|^{n_{2}}+|{\frac {\sin mq/4}{b}}|^{n_{3}}\}^{-1/n_{1}}}$

Једначина ружа- криве (Grandi) је

(4) ${\displaystyle \rho =\rho (\theta )=\cos(2,50)}$

Помоћу трансформације (3) са параметрима ${\displaystyle m=2,5,n_{1}=1/1,3,n_{2}=n_{3}=2,7}$ и ${\displaystyle m=2,5,n_{1}=n_{2}=n_{3}=5}$ добијамо супер-ружа криве.

Једначина логаритамске спирале је ${\displaystyle \rho =f(\theta )=e^{0,2\theta }}$. Помоћу трансформације (3) са параметрима ${\displaystyle m=4,n_{1}=n_{2}=n_{3}=100}$ и ${\displaystyle m=10,n_{1}=n_{2}=n_{3}=5}$, добијамо суперспирале.^[2]

1. ^ Donald Knuth: The METAFONTbook, p. 126
2. ^ dr Leopold Verstraelen, УНИВЕРЗАЛНИ ПРИРОДНИ ОБЛИЦИ, Тангента, Друштво математичара Србије, часопис за математику и рачунарство друштва математичара Србије, број 40, Београд 2004.