Спљоштени сфероидни систем у тродимензионалном простору представља ортогонални координатни систем настао ротацијом сфероида око мале оси, на којој се не налазе фокуси .
Спљоштене сфероидне координате користе се да се реше различите парцијалне диференцијалне једначине, у којима гранични услови одговарају спљоштеном сфероиду са два фокуса на великој оси.
Најчешћа дефиниција издужених сфероидних координата
(
μ μ -->
,
ν ν -->
,
ϕ ϕ -->
)
{\displaystyle (\mu ,\nu ,\phi )}
x
=
a
cosh
-->
μ μ -->
cos
-->
ν ν -->
cos
-->
ϕ ϕ -->
{\displaystyle x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \phi }
y
=
a
cosh
-->
μ μ -->
cos
-->
ν ν -->
sin
-->
ϕ ϕ -->
{\displaystyle y=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \phi }
z
=
a
sinh
-->
μ μ -->
sin
-->
ν ν -->
{\displaystyle z=a\ \sinh \mu \ \sin \nu }
где је
μ μ -->
{\displaystyle \mu }
ν ν -->
∈ ∈ -->
[
− − -->
π π -->
/
2
,
π π -->
/
2
]
{\displaystyle \nu \in [-\pi /2,\pi /2]}
Површи константнога
μ μ -->
{\displaystyle \mu }
x
2
+
y
2
a
2
cosh
2
-->
μ μ -->
+
z
2
a
2
sinh
2
-->
μ μ -->
=
cos
2
-->
ν ν -->
+
sin
2
-->
ν ν -->
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}
Оне представљају елипсе , које се ротирају око z оси, која раздваја фокусе. Елипса у x -z равни има већу полуос дужине a cosh μ дуж x оси, а мања полуос је a sinh μ дуж z оси.
На сличан начин добија се и следећа релација:
x
2
+
y
2
a
2
cos
2
-->
ν ν -->
− − -->
z
2
a
2
sin
2
-->
ν ν -->
=
cosh
2
-->
μ μ -->
− − -->
sinh
2
-->
μ μ -->
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}
из које се види да површи константнога
ν ν -->
{\displaystyle \nu }
Ламеови коефицијенти скалирања су:
h
μ μ -->
=
h
ν ν -->
=
a
sinh
2
-->
μ μ -->
+
sin
2
-->
ν ν -->
{\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}
h
ϕ ϕ -->
=
a
cosh
-->
μ μ -->
cos
-->
ν ν -->
{\displaystyle h_{\phi }=a\cosh \mu \ \cos \nu }
Инфинитезимални елемент запремине је:
d
V
=
a
3
cosh
-->
μ μ -->
cos
-->
ν ν -->
(
sinh
2
-->
μ μ -->
+
sin
2
-->
ν ν -->
)
d
μ μ -->
d
ν ν -->
d
ϕ ϕ -->
{\displaystyle dV=a^{3}\cosh \mu \ \cos \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\phi }
а Лапласијан је:
∇ ∇ -->
2
Φ Φ -->
=
1
a
2
(
sinh
2
-->
μ μ -->
+
sin
2
-->
ν ν -->
)
[
1
cosh
-->
μ μ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
μ μ -->
(
cosh
-->
μ μ -->
∂ ∂ -->
Φ Φ -->
∂ ∂ -->
μ μ -->
)
+
1
cos
-->
ν ν -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
ν ν -->
(
cos
-->
ν ν -->
∂ ∂ -->
Φ Φ -->
∂ ∂ -->
ν ν -->
)
]
+
1
a
2
(
cosh
2
-->
μ μ -->
+
cos
2
-->
ν ν -->
)
∂ ∂ -->
2
Φ Φ -->
∂ ∂ -->
ϕ ϕ -->
2
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu +\cos ^{2}\nu \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}
Спљоштени сфероидни систем може да се параметризира и са друге три координате
(
ζ ζ -->
,
ξ ξ -->
,
ϕ ϕ -->
)
{\displaystyle (\zeta ,\xi ,\phi )}
x
=
a
(
1
+
ζ ζ -->
2
)
(
1
− − -->
ξ ξ -->
2
)
cos
-->
ϕ ϕ -->
{\displaystyle x=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\cos \phi \,}
y
=
a
(
1
+
ζ ζ -->
2
)
(
1
− − -->
ξ ξ -->
2
)
sin
-->
ϕ ϕ -->
{\displaystyle y=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\sin \phi \,}
z
=
a
ζ ζ -->
ξ ξ -->
{\displaystyle z=a\zeta \xi \,}
h
ζ ζ -->
=
a
ζ ζ -->
2
+
ξ ξ -->
2
1
+
ζ ζ -->
2
{\displaystyle h_{\zeta }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}}
h
ξ ξ -->
=
a
ζ ζ -->
2
+
ξ ξ -->
2
1
− − -->
ξ ξ -->
2
{\displaystyle h_{\xi }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}}
h
ϕ ϕ -->
=
a
(
1
+
ζ ζ -->
2
)
(
1
− − -->
ξ ξ -->
2
)
{\displaystyle h_{\phi }=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}}
Инфинитезимални елемент запремине је:
d
V
=
a
3
(
ζ ζ -->
2
+
ξ ξ -->
2
)
d
ζ ζ -->
d
ξ ξ -->
d
ϕ ϕ -->
{\displaystyle dV=a^{3}(\zeta ^{2}+\xi ^{2})\,d\zeta \,d\xi \,d\phi }
а Лапласијан је:
∇ ∇ -->
2
V
=
1
a
2
(
ζ ζ -->
2
+
ξ ξ -->
2
)
{
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
ζ ζ -->
[
(
1
+
ζ ζ -->
2
)
∂ ∂ -->
V
∂ ∂ -->
ζ ζ -->
]
+
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
ξ ξ -->
[
(
1
− − -->
ξ ξ -->
2
)
∂ ∂ -->
V
∂ ∂ -->
ξ ξ -->
]
}
+
1
a
2
(
1
+
ζ ζ -->
2
)
(
1
− − -->
ξ ξ -->
2
)
∂ ∂ -->
2
V
∂ ∂ -->
ϕ ϕ -->
2
{\displaystyle \nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}}
Трећа верзија система има следеће три координате
(
σ σ -->
,
τ τ -->
,
ϕ ϕ -->
)
{\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}
x
=
a
σ σ -->
τ τ -->
cos
-->
ϕ ϕ -->
{\displaystyle x=a\sigma \tau \cos \phi \,}
y
=
a
σ σ -->
τ τ -->
sin
-->
ϕ ϕ -->
{\displaystyle y=a\sigma \tau \sin \phi \,}
z
2
=
a
2
(
σ σ -->
2
− − -->
1
)
(
1
− − -->
τ τ -->
2
)
{\displaystyle z^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}
Ламеови коефицијенти скалирања су:
h
σ σ -->
=
a
σ σ -->
2
− − -->
τ τ -->
2
σ σ -->
2
− − -->
1
{\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}
h
τ τ -->
=
a
σ σ -->
2
− − -->
τ τ -->
2
1
− − -->
τ τ -->
2
{\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}
h
ϕ ϕ -->
=
a
σ σ -->
τ τ -->
{\displaystyle h_{\phi }=a\sigma \tau }
Инфинитезимални елемент запремине је:
d
V
=
a
3
σ σ -->
τ τ -->
σ σ -->
2
− − -->
τ τ -->
2
(
σ σ -->
2
− − -->
1
)
(
1
− − -->
τ τ -->
2
)
d
σ σ -->
d
τ τ -->
d
ϕ ϕ -->
{\displaystyle dV=a^{3}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau d\phi }
а Лапласијан је:
∇ ∇ -->
2
Φ Φ -->
=
1
a
2
(
σ σ -->
2
− − -->
τ τ -->
2
)
{
σ σ -->
2
− − -->
1
σ σ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
σ σ -->
[
(
σ σ -->
σ σ -->
2
− − -->
1
)
∂ ∂ -->
Φ Φ -->
∂ ∂ -->
σ σ -->
]
+
1
− − -->
τ τ -->
2
τ τ -->
∂ ∂ -->
∂ ∂ -->
τ τ -->
[
(
τ τ -->
1
− − -->
τ τ -->
2
)
∂ ∂ -->
Φ Φ -->
∂ ∂ -->
τ τ -->
]
}
+
1
a
2
σ σ -->
2
τ τ -->
2
∂ ∂ -->
2
Φ Φ -->
∂ ∂ -->
ϕ ϕ -->
2
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(\tau {\sqrt {1-\tau ^{2}}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}
Спљоштени сфероидни систем Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers , McGraw-Hill.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0 .
Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-043316-X
![{\displaystyle \nu \in [-\pi /2,\pi /2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49b15801b2da923b1276a83e4d221265fdfaca19)
![{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu +\cos ^{2}\nu \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a5d81529bb6d17bca254304cd7481396b325e8c)
![{\displaystyle \nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b357b2c9bd2183b7e40d3f74589b6b2b948608de)
![{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(\tau {\sqrt {1-\tau ^{2}}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14964682baacf6ce7e88a813cf299106742a402b)