Скаларни производ вектора
Скаларни производ вектора је бинарна операција која као аргументе узима два вектора а резултат јој је скалар .[ 1] [ 2] [ 3] унутрашњег множења простора . Ако су ова два вектора a и b из векторског простора V ,[ 4] [ 5]
(
a
,
b
)
↦ ↦ -->
a
⋅ ⋅ -->
b
{\displaystyle (a,b)\mapsto a\cdot b}
Скаларним производом се зове свако пресликавање које има следеће особине:
(
u
+
v
)
⋅ ⋅ -->
w
=
u
⋅ ⋅ -->
w
+
v
⋅ ⋅ -->
w
{\displaystyle (u+v)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w}
(
α α -->
u
)
⋅ ⋅ -->
v
=
α α -->
(
u
⋅ ⋅ -->
v
)
{\displaystyle (\alpha u)\cdot v=\alpha (u\cdot v)}
u
⋅ ⋅ -->
v
=
v
⋅ ⋅ -->
u
{\displaystyle u\cdot v=v\cdot u}
u
≠ ≠ -->
0
⇒ ⇒ -->
u
⋅ ⋅ -->
u
>
0
{\displaystyle u\neq 0\Rightarrow u\cdot u>0}
При чему су u , v и w вектори из V а α произвољан реалан број .
Приказ стандардног скаларног производа вектора Скаларни производ вектора
x
→ → -->
{\displaystyle {\vec {x}}}
y
→ → -->
{\displaystyle {\vec {y}}}
[ 6] [ 7]
x
→ → -->
⋅ ⋅ -->
y
→ → -->
=
|
x
→ → -->
|
|
y
→ → -->
|
cos
-->
∡ ∡ -->
(
x
→ → -->
,
y
→ → -->
)
=
x
1
y
1
+
x
2
y
2
+
… … -->
+
x
n
y
n
{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\,|{\vec {y}}|\,\cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)=x_{1}\,y_{1}+x_{2}\,y_{2}+\ldots +x_{n}\,y_{n}}
Притом су
|
x
→ → -->
|
{\displaystyle |{\vec {x}}|}
|
y
→ → -->
|
{\displaystyle |{\vec {y}}|}
интензитети тих вектора , одређених следећим координатама :
x
→ → -->
=
(
x
1
,
x
2
,
… … -->
x
n
)
{\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots x_{n})}
y
→ → -->
=
(
y
1
,
y
2
,
… … -->
y
n
)
{\displaystyle {\vec {y}}=(y_{1},y_{2},\dots y_{n})}
Пример скаларног множења вектора (1, 3, −5) и (4, −2, −1) у тродимензионалном простору:
(
1
,
3
,
− − -->
5
)
⋅ ⋅ -->
(
4
,
− − -->
2
,
− − -->
1
)
=
1
⋅ ⋅ -->
4
+
3
⋅ ⋅ -->
(
− − -->
2
)
+
(
− − -->
5
)
⋅ ⋅ -->
(
− − -->
1
)
=
4
− − -->
6
+
5
=
3
{\displaystyle {\begin{aligned}&(1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)\\&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}
Формула :
x
→ → -->
⋅ ⋅ -->
y
→ → -->
=
|
x
→ → -->
|
⋅ ⋅ -->
|
y
→ → -->
|
⋅ ⋅ -->
cos
-->
∡ ∡ -->
(
x
→ → -->
,
y
→ → -->
)
{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\cdot |{\vec {y}}|\cdot \cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)}
Ако је
γ γ -->
{\displaystyle \gamma }
угао између два вектора чији скаларни производ треба пронаћи, коришћењем косинусне теореме може се писати:
|
c
→ → -->
|
2
=
|
a
→ → -->
|
2
+
|
b
→ → -->
|
2
− − -->
2
|
a
→ → -->
|
|
b
→ → -->
|
⋅ ⋅ -->
cos
-->
γ γ -->
{\displaystyle |{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}
Пошто је
c
→ → -->
{\displaystyle {\vec {c}}}
b
→ → -->
− − -->
a
→ → -->
{\displaystyle {\vec {b}}-{\vec {a}}}
|
b
→ → -->
− − -->
a
→ → -->
|
2
=
|
a
→ → -->
|
2
+
|
b
→ → -->
|
2
− − -->
2
|
a
→ → -->
|
|
b
→ → -->
|
⋅ ⋅ -->
cos
-->
γ γ -->
{\displaystyle |{\vec {b}}-{\vec {a}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}
Одакле се налази:
(
b
→ → -->
− − -->
a
→ → -->
)
⋅ ⋅ -->
(
b
→ → -->
− − -->
a
→ → -->
)
=
a
→ → -->
⋅ ⋅ -->
a
→ → -->
+
b
→ → -->
⋅ ⋅ -->
b
→ → -->
− − -->
2
|
a
→ → -->
|
|
b
→ → -->
|
⋅ ⋅ -->
cos
-->
γ γ -->
{\displaystyle \left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)\cdot \left({\vec {b}}-{\vec {a}}\right)={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}
b
→ → -->
⋅ ⋅ -->
b
→ → -->
− − -->
2
a
→ → -->
⋅ ⋅ -->
b
→ → -->
+
a
→ → -->
⋅ ⋅ -->
a
→ → -->
=
a
→ → -->
⋅ ⋅ -->
a
→ → -->
+
b
→ → -->
⋅ ⋅ -->
b
→ → -->
− − -->
2
|
a
→ → -->
|
|
b
→ → -->
|
⋅ ⋅ -->
cos
-->
γ γ -->
{\displaystyle {\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}
Одатле се добија коначна формула:
a
→ → -->
⋅ ⋅ -->
b
→ → -->
=
|
a
→ → -->
|
|
b
→ → -->
|
⋅ ⋅ -->
cos
-->
γ γ -->
.
{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }.}
Заменом вредности угла у претходној формули за случај да су вектори
x
→ → -->
{\displaystyle {\vec {x}}}
y
→ → -->
{\displaystyle {\vec {y}}}
x
→ → -->
⋅ ⋅ -->
y
→ → -->
=
0
{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0}
Ова особина је често корисна за доказивање да су вектори узајамно нормални, јер је за то довољно и неопходно да им скаларни производ буде једнак нули.
Скаларни производ вектора поседује следеће особине:
a
→ → -->
⋅ ⋅ -->
b
→ → -->
=
b
→ → -->
⋅ ⋅ -->
a
→ → -->
{\displaystyle {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}={{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}}
(
a
→ → -->
+
b
→ → -->
)
⋅ ⋅ -->
c
→ → -->
=
a
→ → -->
⋅ ⋅ -->
c
→ → -->
+
b
→ → -->
⋅ ⋅ -->
c
→ → -->
{\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}}
(
α α -->
a
→ → -->
)
⋅ ⋅ -->
b
→ → -->
=
a
→ → -->
⋅ ⋅ -->
(
α α -->
b
→ → -->
)
=
α α -->
a
→ → -->
⋅ ⋅ -->
b
→ → -->
{\displaystyle (\alpha {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\cdot (\alpha {\vec {b}})=\alpha {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}
Коришћењем скаларног производа вектора може се извести формула за интензитет вектора.[ 8]
Пошто је:
x
→ → -->
⋅ ⋅ -->
y
→ → -->
=
∑ ∑ -->
i
=
1
n
x
i
y
i
=
x
1
y
1
+
x
2
y
2
+
⋯ ⋯ -->
+
x
n
y
n
.
{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}={x_{1}}{y_{1}}+{x_{2}}{y_{2}}+\dotsb +{x_{n}}{y_{n}}.}
За специјалан случај када је
x
→ → -->
=
y
→ → -->
{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {y}}}
x
→ → -->
⋅ ⋅ -->
x
→ → -->
=
x
1
2
+
x
2
2
+
x
3
2
+
⋯ ⋯ -->
+
x
n
2
{\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {x}}={x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}}
На основу тога се закључује:
|
x
→ → -->
|
=
x
→ → -->
⋅ ⋅ -->
x
→ → -->
=
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯ ⋯ -->
+
x
n
2
.
{\displaystyle |{\vec {x}}|={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}={\sqrt {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}}}.}
Овај образац представља формулу за израчунавање интензитета вектора.
Пошто су сами вектори примењиви у физици и скаларни производ вектора налази примену у њој.
Тако се на пример рад дефинише као скаларни производ вектора силе и вектора помераја :
A
=
F
→ → -->
⋅ ⋅ -->
r
→ → -->
=
|
F
→ → -->
|
⋅ ⋅ -->
|
r
→ → -->
|
⋅ ⋅ -->
cos
-->
α α -->
{\displaystyle A={\vec {F}}\cdot {\vec {r}}=|{\vec {F}}|\cdot |{\vec {r}}|\cdot \cos \alpha }
Пошто је познато да је скаларни производ два вектора и производ њиховог интензитета са углом између њих, може се инверзном операцијом израчунати и угао.[ 9] [ 10]
a
→ → -->
⋅ ⋅ -->
b
→ → -->
=
|
a
→ → -->
|
|
b
→ → -->
|
cos
-->
θ θ -->
{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\cos \theta \,}
⟹ ⟹ -->
{\displaystyle \Longrightarrow }
θ θ -->
=
arccos
-->
(
a
→ → -->
⋅ ⋅ -->
b
→ → -->
|
a
→ → -->
|
|
b
→ → -->
|
)
.
{\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}\right).}
a
× × -->
(
b
× × -->
c
)
=
b
(
a
⋅ ⋅ -->
c
)
− − -->
c
(
a
⋅ ⋅ -->
b
)
,
{\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ),}
Помоћу скаларног производа може се израчунати пројекција вектора на вектор[ 11]
a
→ → -->
b
0
→ → -->
=∣ ∣ -->
a
→ → -->
∣ ∣ -->
c
o
s
ω ω -->
=
a
b
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {a_{b}}}}
a
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}}
b
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {b}}}
a
→ → -->
b
0
→ → -->
=∣ ∣ -->
a
→ → -->
∣ ∣ -->
c
o
s
ω ω -->
=
b
a
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {b_{a}}}}
b
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {b}}}
a
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}}
(
a
→ → -->
b
0
→ → -->
)
∗ ∗ -->
b
0
→ → -->
=
a
b
b
0
→ → -->
{\displaystyle ({\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}})*{\overrightarrow {b_{0}}}=a_{b}{\overrightarrow {b_{0}}}}
a
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}}
b
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {b}}}
(
a
0
→ → -->
b
→ → -->
)
∗ ∗ -->
a
0
→ → -->
=
b
a
a
0
→ → -->
{\displaystyle ({\overrightarrow {a_{0}}}{\overrightarrow {b}})*{\overrightarrow {a_{0}}}=b_{a}{\overrightarrow {a_{0}}}}
b
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {b}}}
a
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}}
a
→ → -->
⋅ ⋅ -->
b
→ → -->
=
0
⇒ ⇒ -->
a
→ → -->
⊥ ⊥ -->
b
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=0\Rightarrow {\overrightarrow {a}}\bot {\overrightarrow {b}}}
[ 12]
a
→ → -->
a
→ → -->
=∣ ∣ -->
a
→ → -->
∣ ∣ -->∣ ∣ -->
a
→ → -->
∣ ∣ -->
cos
-->
0
=∣ ∣ -->
a
→ → -->
∣ ∣ -->
2
=>∣ ∣ -->
a
→ → -->
∣ ∣ -->
a
→ → -->
a
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid \cos \ 0=\mid {\overrightarrow {a}}\mid ^{2}=>\mid {\overrightarrow {a}}\mid {\sqrt {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}}}}
a
→ → -->
⊥ ⊥ -->
b
→ → -->
=>
a
→ → -->
b
→ → -->
=
0
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}=>{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0}
a
→ → -->
b
→ → -->
=
0
=>
a
→ → -->
⊥ ⊥ -->
b
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0=>{\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}}
0
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {0}}}
c
o
s
ω ω -->
=
a
→ → -->
b
→ → -->
∣ ∣ -->
a
→ → -->
∣ ∣ -->∣ ∣ -->
a
→ → -->
∣ ∣ -->
{\displaystyle cos\omega ={\frac {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}}{\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid }}}
0
<
ω ω -->
<
π π -->
{\displaystyle 0<\omega <\pi }
^ Lay, David C. (2006). Linear Algebra and Its Applications Addison–Wesley . ISBN 0-321-28713-4 . ^ Strang, Gilbert (2006). Linear Algebra and Its Applications (4th изд.). Brooks Cole . ISBN 0-03-010567-6 . ^ Axler, Sheldon (2002). Linear Algebra Done Right (2nd изд.). Springer . ISBN 0-387-98258-2 . ^ Аднађевић, Душан (2008). Математичка анализа I (8. допуњено изд.). Београд: Математички факултет. стр. 5. ISBN 978-86-7589-067-6 . COBISS.SR 145997068 . ^ Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces , Elements of mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-13627-9 ^ Dudley, Richard M. (1989), Real analysis and probability , The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series, Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, ISBN 978-0-534-10050-6 ^ Dunham, William (2005), The Calculus Gallery , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-09565-3 ^ Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) ISBN 978-0-07-154352-1 . ^ M.R. Spiegel; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) ISBN 978-0-07-161545-7 . ^ A I Borisenko; I E Taparov (1968). Vector and tensor analysis with applications . Превод: Richard Silverman. Dover. стр. 14. ^ projekcija vektora na vektor ^ skalami proizvod a b= 0
A I Borisenko; I E Taparov (1968). Vector and tensor analysis with applications . Превод: Richard Silverman. Dover. стр. 14. M.R. Spiegel; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) ISBN 978-0-07-161545-7 . Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) ISBN 978-0-07-154352-1 . Јован Д. Кечкић. Математика са збирком задатака за средње школе. Завод за уџбенике. 2008. година. Београд
Fraleigh, John B. (1976), A First Course in Abstract Algebra (2nd изд.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 Hall, Marshall Jr. (1959), The Theory of Groups , New York: Macmillan Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms , Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8 Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd изд.), Boston: Allyn and Bacon Vieta, Franciscus (1591). In artem analyticem isagoge seorsim excussa ab Opere restitutae mathematicae analyseos, seu Algebra noua Guide to the analytic art [...] or new algebra ] (на језику: латински). Tours: apud Iametium Mettayer typographum regium. Приступљено 2015-06-24 . Липковски, Александар (2007). Линеарна алгебра и аналитичка геометрија . Београд: Завод за уџбенике. ISBN 978-86-17-14540-6 . COBISS.SR 139743756 . Милошевић, Иванка. Векторски простори и елементи векторске анализе (PDF) . Београд: Физички факултет Универзитета у Београду. Приступљено 2. 12. 2010 . Cantrell, Cyrus D. (2000). Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers (језик: енглески) ). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59180-5 . Приступљено 14. 12. 2010 . Аднађевић, Душан (2008). Математичка анализа I (8. допуњено изд.). Београд: Математички факултет. стр. 5. ISBN 978-86-7589-067-6 . COBISS.SR 145997068 . Artin, Michael (1991), Algebra , Prentice Hall , ISBN 978-0-89871-510-1 Blass, Andreas (1984), „Existence of bases implies the axiom of choice” (PDF) , Axiomatic set theory (Boulder, Colorado, 1983) , Contemporary Mathematics, 31 , Providence, R.I.: American Mathematical Society , стр. 31—33, MR 763890 Brown, William A. (1991), Matrices and vector spaces ISBN 978-0-8247-8419-5 Lang, Serge (1987), Linear algebra , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96412-6 Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Revised third изд.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556 Mac Lane, Saunders (1999), Algebra (3rd изд.), стр. 193—222, ISBN 978-0-8218-1646-2 Meyer, Carl D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8 Roman, Steven (2005), Advanced Linear Algebra , Graduate Texts in Mathematics, 135 (2nd изд.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-24766-3 Spindler, Karlheinz (1993), Abstract Algebra with Applications: Volume 1: Vector spaces and groups , CRC, ISBN 978-0-8247-9144-5 van der Waerden, Bartel Leendert (1993), Algebra (на језику: немачки) (9th изд.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56799-8
Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Inner product”. Encyclopaedia of Mathematics ISBN 978-1556080104 . Weisstein, Eric W. „Dot product” . MathWorld Explanation of dot product including with complex vectors "Dot Product" by Bruce Torrence, Wolfram Demonstrations Project , 2007.Линеарна алгебра: Увод у векторе , видео на Кан академији (језик: енглески) Векторски простор на Wolfram MathWorld (језик: енглески) Векторски простори , белешке за предавања, Универзитет у Единбургу (језик: енглески) Увод у векторске просторе , из серије предавања Lecture Series on Quantum Physics by Prof. V. Balakrishnan, Department of Physics, IIT Madras. (језик: енглески)
