Функцију ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$, где је ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$, а функција је непрекидна на скупу ${\displaystyle X}$, називамо равномерно (униформно) непрекидном на том скупу, ако се за свако ${\displaystyle \varepsilon >0}$, може наћи позитивно ${\displaystyle \delta }$, тако да за сваке две тачке њеног домена које се налазе на растојању мањем од ${\displaystyle \delta }$, важи ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$.

Односно, услов равномерне непрекидности функције ${\displaystyle f}$ на скупу ${\displaystyle X}$ се може записати као:

${\displaystyle (\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x_{1},x_{2}\in X)(|x_{1}-x_{2}|<\delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon )}$.

Оправданост ове дефиниције, поред дефиниције саме непрекидности функције потиче од тога - да би функција била непрекидна у свакој тачки свог домена ${\displaystyle X}$, потребно је наћи најмање ${\displaystyle \delta =\delta _{0}}$ од свих околина сваке тачке домена, за које би онда важило:

${\displaystyle (\forall x,x_{0}\in X)(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon ).}$

Ако је скуп ${\displaystyle X}$ коначан, то је могуће урадити. Међутим, када ${\displaystyle X}$ није коначан, не постоји гаранција да ће такво најмање ${\displaystyle \delta =\delta _{0}}$ уопште постојати. Тиме је оправдана постојаност наведене дефиниције равномерне непрекидности.

Општи критеријум за одређивање равномерне непрекидности функција даје Канторов став о равномерној непрекидности. Теорема се може доказати коришћењем Борел-Лебегове леме о покривачима и потпокривачима.

Ако је функција ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ непрекидна на интервалу ${\displaystyle [a,b]}$, она је и равномерно непрекидна на њему.

Из дефиниције непрекидности имамо да ако је функција ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ непрекидна на интервалу ${\displaystyle [a,b]}$ (дато као услов за теорему), онда за произвољну тачку ${\displaystyle x}$ из тог сегмента постоји нека околина ${\displaystyle U(x)=(x-\delta ,x+\delta )}$ и за све тачке ${\displaystyle x_{1}\in U(x)}$ важи: ${\displaystyle |f(x)-f(x_{1})|<{\frac {\varepsilon }{2}})}$.

Изаберимо 2 тачке, ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in U(x)}$. Тада је:

${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leq |f(x)-f(x_{1})|+|f(x)-f(x_{2})|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon .}$

Изаберимо сада околину дупло мањег полупречника, ${\displaystyle U'(x)=(x-{\frac {\delta }{2}},x+{\frac {\delta }{2}})}$. Ако такву околину конструишемо за сваку тачку сегмента ${\displaystyle [a,b]}$, добићемо скуп отворених интервала који очигледно прекрива цео сегмент ${\displaystyle [a,b]}$, па скуп тих интервала чини покривач сегмента ${\displaystyle [a,b]}$. Из Борел-Лебегове леме имамо да постоји коначан потпокривач тог интервала, тј. да постоје тачке ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ тако да њихове околине ${\displaystyle U'_{1},U'_{2},...,U'_{n}}$ образују подпокривач сегмента ${\displaystyle [a,b]}$. Како тачака ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ има коначно много, може се међу њиховим околинама пронаћи најмање ${\displaystyle {\frac {\delta _{i}}{2}}}$ и означимо га са ${\displaystyle \delta }$.

Изаберимо сада неку тачку ${\displaystyle x'}$ из интервала ${\displaystyle [a,b]}$ која припада неком од интервала ${\displaystyle U'_{1},U'_{2},...,U'_{n}}$, што записујемо: ${\displaystyle |x_{i}-x'|<{\frac {\delta _{i}}{2}}}$.

Изаберимо и тачку ${\displaystyle x''}$ из интервала ${\displaystyle [a,b]}$ која се налази у ${\displaystyle \delta }$-околини тачке ${\displaystyle x'}$, тј. ${\displaystyle |x'-x''|<\delta }$. То можемо урадити по дефиницији, зато што је функција у целом сегменту непрекидна, а пошто је ${\displaystyle \delta \leq {\frac {\delta _{i}}{2}}}$, онда је сигурно и ${\displaystyle |x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}}$.

Сада, из ${\displaystyle |x_{i}-x'|<{\frac {\delta _{i}}{2}}}$ и ${\displaystyle |x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}}$ имамо да је:

${\displaystyle |x_{i}-x''|\leq |x'-x_{i}|+|x'-x''|<{\frac {\delta _{i}}{2}}+{\frac {\delta _{i}}{2}}=\delta _{i},}$

тј. обе тачке, и ${\displaystyle x'}$ и ${\displaystyle x''}$, припадају ${\displaystyle \delta _{i}}$-околини тачке ${\displaystyle \delta _{i}}$, односно, обе се налазе унутар неке околине ${\displaystyle (x-\delta _{i},x+\delta _{i})}$, па имамо да је онда ${\displaystyle |f(x')-f(x'')|<\varepsilon }$, што је и требало доказати.

• Непрекидна функција
• Борел-Лебегова лема
• Канторов став о равномерној непрекидности

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.