Одређени (или Риманов) интеграл је проистекао из проблема површине који датира још из античке Грчке. Проблем квадратуре параболе је поставио Архимед, и то решење се сматра једним од првих значајних резултата математичке анализе. Увођење одређеног и неодређеног интеграла у математику није било везано једно за друго, те се и њихово дефинисање разликује. Одређени интеграл се дефинише као површина између функције и апсцисе, а неодређени интеграл као обрнути проблем налажења извода. Тек се касније испоставило, постављањем Њутн-Лајбницове формуле, да између одређеног и неодређеног интеграла постоји велика релација.

Функција ${\displaystyle f}$ је дефинисана на одсечку ${\displaystyle \left[a,b\right]}$. Дефинишимо поделу ${\displaystyle \Pi }$ као уређену ${\displaystyle \left(n+1\right)}$ -торку бројева ${\displaystyle \left(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}\right)}$ такву да је ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<x_{3}<...<x_{n}=b}$, и у оквиру ње изберимо бројеве ${\displaystyle \xi =\left(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n}\right)}$, тако да важи ${\displaystyle \xi _{i}\in \left[x_{i-1},x_{i}\right]}$. Означимо са ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$ разлику између 2 члана поделе. Тада је скуп ${\displaystyle \left\{\Delta x_{1},\Delta x_{2},...,\Delta x_{n}\right\rbrace }$ коначан скуп реалних бројева, па он има свој највећи елемент. Означимо тај елемент са ${\displaystyle \delta }$.

Реалним бројем ${\displaystyle I}$ називамо одређени интеграл функције ${\displaystyle f}$ на интервалу ${\displaystyle \left[a,b\right]}$, ако за свако ${\displaystyle \epsilon }$ постоји ${\displaystyle \delta }$, такво да је за сваку поделу ${\displaystyle \Pi }$ за коју важи да је њен параметер мањи од ${\displaystyle \delta }$, тј. ${\displaystyle d\left(\Pi \right)<\delta }$, испуњено:

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}f\left(\xi _{i}\right)\Delta x_{i}-I\right\vert <\epsilon }$

То се другачије може записати као:

${\displaystyle I=\lim _{d\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f\left(\xi _{i}\right)\Delta x_{i}'=\int _{a}^{b}f\left(x\right)dx,}$

где је ${\displaystyle \int _{a}^{b}}$ запис за суму од ${\displaystyle a}$ до ${\displaystyle b}$ када ${\displaystyle \delta }$ тежи нули (тиме и ${\displaystyle n}$ тежи бесконачности), а ${\displaystyle \Delta x_{i}}$ је замењено диференцијалом, пошто је диференцијал у некој тачки заправо прираштај по ${\displaystyle x}$-оси у тој тачки, што је и смисао ${\displaystyle \Delta x_{i}}$ када ${\displaystyle \delta }$ тежи нули.

Ако постоји одређени интеграл функције ${\displaystyle f}$ на интервалу ${\displaystyle \left[a,b\right]}$, кажемо да је функција ${\displaystyle f}$ интеграбилна на ${\displaystyle \left[a,b\right]}$.

• Неодређени интеграл
• Дарбуове суме

Одређени интеграл на Викимедијиној остави.

• Риманова сума
• Увод у одређене интеграле