Када се решава проблем кретања система више тела, користи се Лагранжев формализам који упрошћава праћење еволуције система. Тачније, користе се једначине:${\displaystyle -{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}-{\partial L \over \partial q_{i}}=0}$

где је ${\displaystyle L=T-U}$ Лагранжијан или Лагранжева функција, док је Т — кинетичка енергија система, а U — потенцијална енергија система, док су ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ — генералисане брзине, а ${\displaystyle q_{i}}$ — генералисане координате.^[1]

Полазимо од Даламберовог принципа да је рад сила реакција подлоге при могућем или виртуелном померању тела једнак 0, тј. ако је:${\displaystyle m_{\nu }{\overrightarrow {a}}_{\nu }-{\overrightarrow {F}}_{\nu }={\overrightarrow {R}}_{\nu }}$, где је ${\displaystyle m_{\nu }}$ — маса ν-тог тела, а_ν — његово убрзање, ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}_{\nu }}$ — резултанта дејствујућих сила на ν-то тело и ${\displaystyle {\overrightarrow {R}}_{\nu }}$ — реакција подлоге на ν-то тело, тада је: ${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{N}{\overrightarrow {R}}_{\nu }\cdot \delta {\overrightarrow {r}}_{\nu }=0}$, односно ${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{N}{\Bigl (}m_{\nu }{\overrightarrow {a}}_{\nu }-{\overrightarrow {F}}_{\nu }{\Bigr )}\cdot \delta {\overrightarrow {r}}_{\nu }=0}$ 1.

${\displaystyle \delta {\overrightarrow {r}}_{\nu }=\sum _{i=1}^{n}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}\delta q_{i}}$; ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}_{\nu }={d{\overrightarrow {r}}_{\nu } \over dt}=\sum _{i=1}^{n}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}}$=> ${\displaystyle {\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}={\partial {\overrightarrow {v}}_{\nu } \over \partial {\dot {q}}_{i}}}$, сада израз 1. постаје

${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{N}{\Bigl (}m_{\nu }{d{\overrightarrow {v}}_{\nu } \over dt}-{\overrightarrow {F}}_{\nu }{\Bigr )}\cdot \delta {\overrightarrow {r}}_{\nu }=0}$ уз ${\displaystyle {d{\overrightarrow {v}}_{\nu } \over dt}=\sum _{i=1}^{n}{\Bigl (}{\partial {\overrightarrow {v}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}+{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\ddot {q}}_{i}{\Bigr )}}$, а ${\displaystyle {\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\ddot {q}}_{i}={d{\Bigl (}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}{\Bigr )} \over dt}-{\partial {\overrightarrow {v}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}}$

${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{N}m_{\nu }\sum _{i=1,j=1}^{n}{\Bigl (}{d{\Bigl (}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}{\Bigr )} \over dt}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{j}}{\Bigr )}\delta q_{j}-\sum _{\nu =1}^{N}{\overrightarrow {F}}_{\nu }\sum _{j=1}^{n}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{j}}\delta q_{j}=0}$

Како је кинетичка енергија, ${\displaystyle T=\sum _{\nu =1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{\nu }v_{\nu }^{2}=\sum _{\nu =1}^{N}m_{\nu }\sum _{i=1,j=1}^{n}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial {\dot {q}}_{i}}{\dot {q}}_{i}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial {\dot {q}}_{j}}{\dot {q}}_{j}}$=>

${\displaystyle m_{\nu }\sum _{j=1}^{n}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{j}}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{j}={\partial T \over \partial {\dot {q}}_{i}}}$=> ${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{N}m_{\nu }\sum _{i=1,j=1}^{n}{\Bigl (}{d{\Bigl (}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}{\Bigr )} \over dt}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{j}}{\Bigr )}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{n}{\Bigl (}{d{\Bigl (}{\partial T \over \partial {\dot {q}}_{j}}{\Bigr )} \over dt}-{\partial T \over \partial q_{j}}{\Bigr )}\delta q_{j}}$

Па ако су силе потенцијалне, тј. важи ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}_{\nu }=-{\partial U \over \partial {\overrightarrow {r}}_{\nu }}}$, то израз ${\displaystyle {\overrightarrow {F}}_{\nu }\sum _{i=1}^{n}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}=-{\partial U \over \partial q_{j}}}$

и коначно једначина 1 постаје:${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{\Bigl (}{d{\Bigl (}{\partial T \over \partial {\dot {q}}_{j}}{\Bigr )} \over dt}-{\partial T \over \partial q_{j}}+{\partial U \over \partial q_{j}}{\Bigr )}\delta q_{j}=0}$

Како су могућа померања ${\displaystyle \delta q_{j}}$произвољна, то следи: ${\displaystyle -{\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}{\Bigr )}+{\partial L \over \partial q_{i}}=0}$

Круто тело занемарљиве масе ограничава кретање тела масе ṁ занемарљивих димензија, тако да се кретање прати замо углом θ — отклона штапа од вертикале, па се добије:${\displaystyle d{\overrightarrow {r}}=dr{\overrightarrow {e}}_{r}+rd\theta {\overrightarrow {e}}_{\theta }}$=> ${\displaystyle d{\overrightarrow {r}}=rd\theta {\overrightarrow {e}}_{\theta };dr=0}$

${\displaystyle v=r{\dot {\phi }}}$; ${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}}$; ${\displaystyle U=mgl(1-\cos \theta )}$

${\displaystyle L=T-U={\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\phi }}^{2}-mgl(1-\cos \theta )}$, па из

${\displaystyle -{\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\partial L \over \partial {\dot {\theta }}}{\Bigr )}+{\partial L \over \partial \theta }=0}$=> ${\displaystyle l^{2}{\ddot {\theta }}=-lg\sin \theta }$, па за ${\displaystyle \theta \rightarrow 0}$ произилази решење ${\displaystyle \theta =A\cos {(\omega t+\phi _{0})}}$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}}$

Кулоново поље сила припада типу централних сила, код којих је момент импулса једнак 0.${\displaystyle {\overrightarrow {r}}\times m{\overrightarrow {\dot {v}}}={\overrightarrow {r}}\times F(r){\frac {\overrightarrow {r}}{r}}}$, а по својству векторског производа ${\displaystyle {\overrightarrow {r}}\times {\overrightarrow {r}}=0}$, па је ${\displaystyle {\overrightarrow {r}}\times m{\overrightarrow {v}}=mr^{2}{\dot {\phi }}{\overrightarrow {k}}}$константа кретања.

Исти резултат лако добијамо из Лангражевог формализма:${\displaystyle -{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {\phi }}}-{\partial L \over \partial \phi }=0}$

${\displaystyle L=T-U={\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\phi }}^{2}-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}}$=>${\displaystyle {\partial L \over \partial {\dot {\phi }}}=mr^{2}{\dot {\phi }}}$,јер је ${\displaystyle {\partial L \over \partial \phi }=0}$

Ẕ — број протона у језгри атома или редни број атома, ṁ — маса електрона, е — наелектрисање електрона, ε₀ — диелектричка пропустљивост вакуума.