Инверзија у односу на круг представља трансформацију која чува углове и слика уопштени круг у уопштени круг. Под уопштеним кругом подразумевамо круг или праву (круг чији је пречник бесконачан). Многи проблеми у геометрији су упрошћени увођењем појма уопштеног круга. Појам инверзије може бити примењен и на бесконачнодимензионе просторе.

Нека је ${\displaystyle \kappa (O,r)}$ произвољан круг равни ${\displaystyle E^{2}}$, затим нека је ${\displaystyle E_{*}^{2}=E^{2}\backslash {\big \{}O{\big \}}}$ исти тај круг без тачке ${\displaystyle O}$. Инверзијом у односу на круг називамо трансформацију

${\displaystyle \psi _{\kappa }:E_{*}^{2}\longrightarrow E_{*}^{2}}$

која сваку тачку ${\displaystyle P\in E_{*}^{2}}$ преводи у тачку ${\displaystyle P'\in E_{*}^{2}}$ такву да је

${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}\cdot {\overrightarrow {OP'}}=r^{2}.}$

Тачка ${\displaystyle O}$ је центар круга ${\displaystyle \kappa }$, односно средиште инверзије, дуж ${\displaystyle r}$ је полупречник, а круг ${\displaystyle \kappa }$ називамо кругом инверзије ${\displaystyle \psi _{\kappa }}$.

Како се тачка ${\displaystyle P}$ приближава центру круга ${\displaystyle O}$, њен инверз у односу на круг, односно тачка ${\displaystyle P'}$, тежи бесконачности. Слика тачке ${\displaystyle O}$ није дефинисана, нити се нека тачка слика у тачку ${\displaystyle O}$.^[1]

Тачке на кружници се сликају у саме себе. Тачке унутар круга сликају се у тачке изван круга, и обрнуто.

Инверзија у односу на круг је бијективна трансформација.

Конструкција слике ${\displaystyle P'}$ тачке ${\displaystyle P}$ при инверзији у односу на круг ${\displaystyle \kappa _{1}}$:

• Конструсати дуж ${\displaystyle OP}$, где је ${\displaystyle O}$ центар круга ${\displaystyle \kappa _{1}}$.
• Конструисати круг ${\displaystyle \kappa _{2}}$ над пречником ${\displaystyle OP}$.
• Нека су ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle N'}$ пресечне тачке кругова ${\displaystyle \kappa _{1}}$ и ${\displaystyle \kappa _{2}}$.
• Тачка ${\displaystyle P'}$ ће бити пресек дужи ${\displaystyle OP}$ и ${\displaystyle NN'}$.

Конструкција инверза ${\displaystyle P}$ тачке ${\displaystyle P'}$ унутар круга инверзије ${\displaystyle \kappa }$:

• Конструисати праву ${\displaystyle r}$ која садржи тачке ${\displaystyle O}$ (центар круга ${\displaystyle \kappa }$) и ${\displaystyle P'}$.
• Конструсати нормалу ${\displaystyle s}$ из тачке ${\displaystyle P'}$ на праву ${\displaystyle r}$.
• Нека је ${\displaystyle N}$ једна од тачака пресека круга ${\displaystyle \kappa }$ и праве ${\displaystyle s}$.
• Конструисати праву ${\displaystyle t}$ која садржи тачку ${\displaystyle N}$ и нормална је на праву ${\displaystyle ON}$.
• Тачка ${\displaystyle P}$ ће бити пресек правих ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle t}$.

• Ако круг ${\displaystyle \ell }$ не сече круг инверзије ${\displaystyle \kappa }$:

1. Конструисати праву тако да садржи центре кругова ${\displaystyle \ell }$ и ${\displaystyle \kappa }$.
2. Нека су ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ пресечне тачке те праве и круга ${\displaystyle \ell }$.
3. Конструисати тачке ${\displaystyle A'}$ и ${\displaystyle B'}$, слике тачака ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ при инверзији у односу на круг ${\displaystyle \kappa }$.
4. Конструисати круг ${\displaystyle \ell '}$ над пречником ${\displaystyle A'B'}$. Тај круг је слика круга ${\displaystyle \ell }$ при инверзији у односу на круг ${\displaystyle \kappa }$.

• Ако круг ${\displaystyle \ell }$ сече круг инверзије ${\displaystyle \kappa }$:

1. Нека су пресечне тачке кругова ${\displaystyle \ell }$ и ${\displaystyle \kappa }$ тачке ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle N'}$.
2. Конструисати праву тако да садржи центре кругова ${\displaystyle \ell }$ и ${\displaystyle \kappa }$. Нека је једна од пресечних тачака те праве и круга ${\displaystyle \ell }$ тачка ${\displaystyle A}$.
3. Конструисати тачку ${\displaystyle A'}$, слику тачке ${\displaystyle A}$ при инверзији у односу на круг ${\displaystyle \kappa }$.
4. Круг ${\displaystyle \ell '}$, слика круга ${\displaystyle \ell }$ при инверзији у односу на круг ${\displaystyle \kappa }$, је круг описан око троугла ${\displaystyle \triangle NN'A'}$.

• 
  1. Конструкција слике круга ${\displaystyle \ell }$, при инверзији у односу на круг ${\displaystyle \kappa }$, ако се кругови ${\displaystyle \ell }$ и ${\displaystyle \kappa }$ не секу.
• 
  2. Конструкција слике круга ${\displaystyle \ell }$, при инверзији у односу на круг ${\displaystyle \kappa }$, ако се кругови ${\displaystyle \ell }$ и ${\displaystyle \kappa }$ секу.

• Инверзија у односу на круг је инволутивна трансформација.^[2] Ако је слика тачке ${\displaystyle P}$ при инверзији у односу на круг ${\displaystyle \kappa }$ тачка ${\displaystyle P'}$, то значи да ће слика тачке ${\displaystyle P'}$ при инверзији у односу на круг ${\displaystyle \kappa }$ бити тачка ${\displaystyle P}$.
• Нека тачка ${\displaystyle X}$ је инваријантна при инверзији ${\displaystyle \psi _{\kappa }:E_{*}^{2}\longrightarrow E_{*}^{2}}$ ако и само ако ${\displaystyle X\in \kappa }$.^[2] Дакле, све тачке које припадају кружници ${\displaystyle \kappa }$, ће се сликати у саме себе.
• При инверзији ${\displaystyle \psi _{\kappa }:E_{*}^{2}\longrightarrow E_{*}^{2}}$ тачки ${\displaystyle X}$ која се налази унутар круга ${\displaystyle \kappa }$ одговара тачка ${\displaystyle X'}$ која се налази изван круга ${\displaystyle \kappa }$, и обрнуто.^[2]
• Композиција двеју инверзија ${\displaystyle \psi _{\kappa _{1}}}$ и ${\displaystyle \psi _{\kappa _{2}}}$ које су дефинисане у односу на концентричне кругове ${\displaystyle \kappa _{1}(O,r_{1})}$ и ${\displaystyle \kappa _{2}(O,r_{2})}$ је хомотетија ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{O,r_{2}^{2}:r_{1}^{2}}}$.^[2]
• Слика круга ${\displaystyle \ell }$ који садржи тачку ${\displaystyle O}$, при инверзији у односу на круг ${\displaystyle \kappa }$, је права ${\displaystyle l'}$ која не садржи ${\displaystyle O}$. Права ${\displaystyle l'}$ је паралелна тангенти круга ${\displaystyle \ell }$ у тачки ${\displaystyle O}$.
• Слика круга ${\displaystyle \ell }$ који не садржи тачку ${\displaystyle O}$ је круг ${\displaystyle \ell '}$ који такође не садржи ${\displaystyle O}$. Ако круг ${\displaystyle \ell }$ сече круг ${\displaystyle \kappa }$, тачке пресека ће припадати и кругу ${\displaystyle \ell '}$ (јер су тачке на кружници инваријанте).^[3][4]
• Слика праве ${\displaystyle l}$ која садржи тачку ${\displaystyle O}$ је иста та права, без тачке ${\displaystyle O}$.
• Слика праве ${\displaystyle l}$ која не садржи тачку ${\displaystyle O}$ је круг ${\displaystyle \ell '}$ који не садржи тачку ${\displaystyle O}$.^[2]

• 
  Слика круга ${\displaystyle \ell }$ који садржи тачку ${\displaystyle O}$, центар круга ${\displaystyle \kappa }$, при инверзији у односу на круг ${\displaystyle \kappa }$, је права ${\displaystyle l'}$ која не садржи ${\displaystyle O}$.
• 
  Слика круга ${\displaystyle \ell }$ који не садржи тачку ${\displaystyle O}$, центар круга ${\displaystyle \kappa }$, при инверзији у односу на круг ${\displaystyle \kappa }$, је круг ${\displaystyle \ell '}$ која не садржи ${\displaystyle O}$.
• 
  Концентрични кругови се при инверзији у односу на круг не сликају у концентричне кругове.

Два круга су ортогонална ако и само ако су им тангенте у пресечним тачкама ортогоналне.

• Инверзија у односу на круг ${\displaystyle \kappa }$ пресликава неки круг ${\displaystyle \ell }$ у њега самог ако и само ако се кругови ${\displaystyle \kappa }$ и ${\displaystyle \ell }$ поклапају или су ортогонални.
• Тачке пресека два круга ${\displaystyle \kappa _{1}}$ и ${\displaystyle \kappa _{2}}$ који су ортогонални на круг ${\displaystyle \kappa }$ су међусобно инверзне у односу на круг ${\displaystyle \kappa }$.

• Инверзија у односу на круг не мења углове, али мења оријентацију углова.^[5]
• За неки троугао ${\displaystyle \triangle OAB}$, где је ${\displaystyle O}$ центар круга ${\displaystyle \kappa }$ и где су тачке ${\displaystyle A'}$ и ${\displaystyle B'}$ слике тачака ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ при инверзији у односу на круг ${\displaystyle \kappa }$ важи:

${\displaystyle \angle OAB=\angle OB'A';\quad \angle OBA=\angle OA'B'.}$

• Угао под којем се секу две линије ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ у пресечној тачки ${\displaystyle S}$, једнак је углу под којем се секу слике линија ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ при инверзији у односу на круг ${\displaystyle \kappa }$, линије ${\displaystyle p'}$ и ${\displaystyle q'}$, у одговарајућој тачки ${\displaystyle S'}$.^[6]

Било која два круга која се не секу, могу се инверзијом пресликати у концентричне кругове. Инверзно растојање представља природни логаритам односа пречника та два концентрична круга.

У тродимензионом простору, могуће је уопштити инверзију у односу на круг до инверзије у односу на сферу. Слика тачке ${\displaystyle P}$ при инверзији у односу на сферу са средиштем у тачки ${\displaystyle O}$ и пречником ${\displaystyle R}$ је тачка ${\displaystyle P'}$ таква да: ${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}\times {\overrightarrow {OP^{\prime }}}=R^{2}}$.

Тачке ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle P'}$ су на истој полуправој, са почетком у тачки ${\displaystyle O}$. При оваквој инверзији, слика сфере је сфера, осим у случају када сфера коју инвертујемо садржи тачку ${\displaystyle O}$. Тада је слика сфере раван.

Даље, свака раван која не садржи тачку ${\displaystyle O}$ се слика у сферу, док се раван која садржи тачку ${\displaystyle O}$ слика у исту ту раван, али која не садржи у тачку ${\displaystyle O}$.

Стереографска пројекција је посебан подслучај инверзије у односу на сферу која слика сферу на раван.

• Д. Лопандић, Геометрија, Завод за уџбенике, Београд, 2011.

"Inversion" на сајту MathWorld

Wilson's Inversive Geometry

Симулација инверзије око круга на сајту cut-the-knot.org