U matematici, polje je skup na kome su sabiranje, oduzimanje, množenje, i deljenje definisani, i ponašaju se kao korespondirajuće operacije na racionalnim i realnim brojevima. Polje je stoga fundamentalna algebarska struktura, koja ima široku primenu u algebri, teoriji brojeva i mnogim drugim oblastima matematike.

Najbolje poznata polja su polje racionalnih brojeva, polje realnih brojeva i polje kompleksnih brojeva. Mnoga druga polja, kao što su polja racionalnih funkcija, polja algebarskih funkcija, polja algebarskih brojeva, i polja p-adičnih brojeva se često koriste u matematičkim studijama, posebno u teoriji brojeva i algebarskoj geometriji. Veći deo kroptografskih protokola se oslanja na konačna polja, i.e., polja sa konačnim brojem elemenata.

Relacija dva polja se izražava pomoću notacije proširenja polja. Galova teorija, koju je definisao Evarist Galoa tokom 1830-ih, posvećena je razumevanju simetrija proširenja polja. Između ostalog, ova teorija pokazuje da se ugaona trisekcija i kvadratura kruga ne mogu vršiti koristeći samo lenjir i šestar. Štaviše, ona pokazuje da su kvintične jednačine algebarski nerešive.

Polja služe kao fondacione notacije u nekoliko matematičkih domena. Ovo obuhvata različite grane analize, koje se zasnivaju na poljima s dodatnom strukturom. Osnovne teoreme u analizi zavise od strukturnih svojstava polja realnih brojeva. Najvažnije za algebarske svrhe je da se bilo koje polje može koristiti kao skalari za vektorski prostor, što je standardni opšti kontekst za linearnu algebru. Polja brojeva, srodnici polja racionalnih brojeva, detaljno se proučavaju u teoriji brojeva. Funkcionalna polja su korisna u opisivanju svojstva geometrijskih objekata.

Neformalno, polje je skup, zajedno sa dve operacije definisane na tom skupu: operacija sabiranja koja se zapisuje kao a + b, i operacija množenja koja se piše kao a ⋅ b, obe od kojih se ponašaju na način na koji se ponašaju na racionalnim brojevima i realnim brojevima, uključujući postojanje negativne vrednosti −a za sve elemente a, i recipročne vrednosti b⁻¹ za svaki element b različit od nule. To omogućava obavljanje inverznih operacija: oduzimanja, a − b, i deljenja, a / b, definisanjem:

a − b = a + (−b),

a / b = a · b⁻¹.

Klasična definicija

Formalno, polje je skup F zajedno sa dve operacije na F zvane sabiranje i množenje.^[1] Jedna operacija na F je funkcija F × F → F – drugim rečima, mapiranje kojim se asocira jedan element iz F sa svakim parom njegovih elemenata. Rezultat sabiranja a i b se zove suma a i b, i označva se sa a + b. Slično tome, rezultat množenja a i b se zove proizvod a i b, i označava se sa ab ili a ⋅ b.