Holomorfne funkcije su kompleksne funkcije definisane na otvorenom podskupu kompleksne ravni koje su diferencijabilne. Funkcija je holomorfna u nekoj tački ako u toj tački postoji izvod te funkcije i ako je različit od nule. Funkcija je holomorfna na nekoj oblasti ako je holomorfna u svakoj tački te oblasti. Postojanje kompleksnog derivata u blizini je veoma jak uslov, jer implicira da je svaka holomorfna funkcija zapravo beskrajno diferencijabilna i jednaka, lokalno, svojoj Tejlorovoj seriji (analitička). Holomorfne funkcije su centralni predmeti proučavanja u kompleksnoj analizi.

Iako se termin analitička funkcija često upotrebljava sinonimno sa „holomorfna funkcija”", reč „analitička” je definisana u širem smislu da označi bilo koju funkciju (realnu, kompleksnu ili opštiji tip) koja se može napisati kao konvergentna stepena serija u okolini svake tačke u njenom domenu. Činjenica da su sve holomorfne funkcije kompleksne analitičke funkcije, i obrnuto, glavna je teorema u kompleksnoj analizi.^[1]

Holomorfne funkcije se takođe ponekad nazivaju regularnim funkcijama.^[2] Holomorfna funkcija čiji je domen cela kompleksna ravan se naziva celokupnom funkcijom. Fraza „holomorfna u tački z₀” ne znači samo diferencijabilna u z₀, već je diferencijabilna svuda unutar izvesne okoline z₀ u kompleksnoj ravni.

Za datu funkciju kompleksne vrednosti f jedne složene promenljive, derivat od f u tački z₀ u njenom domenu je definisan limesom^[3]

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.}$

To je isto što i definicija derivata za realne funkcije, osim što su svi kvantiteti kompleksni. Konkretno, granica se uzima dok se kompleksni broj z približava z₀, i mora imati istu vrednost za bilo koji niz složenih vrednosti za z koji prilaze z₀ na kompleksnoj ravni. Ako granica postoji, kaže se da je f kompleksno-diferencijabilno u tački z₀. Ovaj koncept kompleksne diferencijabilnosti deli nekoliko svojstava sa realnom diferencibilnošću: on je linearan i pokorava se pravilu proizvoda, pravilu kvocijenta i lančanom pravilu.^[4]

Ako je funkcija f kompleksno diferencijabilna u svakoj tački z₀ u jednom otvorenom setu U, kaže se da je f holomorfna na U. Funkcija f je holomorfna u tački z₀, ako je f kompleksno diferencijabilna u okolini z₀.^[5] Funkcija f je holomorfna na nekom zatvorenom setu A ako je homomorfna na otvorenom setu koji sadrži A. Kao patološki ne-primer, funkcija data sa z|² je kompleksno diferencijabilna u tačno jednoj tački (z₀ = 0), i iz tog razloga ona nije holomorfna u 0, jer ne postoji otvoreni set oko 0 na kome je f kompleksno diferencijabilna.

Odnos između realne diferencijabilnosti i kompleksne diferencijabilnosti je sledeći. Ako je kompleksna funkcija 1=f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y) holomorfna, onda u i v imaju prve parcijalne derivate u odnosu na x i y, i zadovoljavaju Koši-Rimanove jednačine:^[6]

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}$

ili, ekvivalentno, Virtindžerov derivat od f u odnosu na kompleksni konjugat od z je nula:^[7]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0,}$

drugim rečima f je funkcionalno nezavisna od kompleksnog konjugata od z.

Ako kontinualnost nije data, suprotno nije nužno tačno. Jednostavna suprotnost je da ako u i v imaju kontinualni prvi parcijalni derivat i zadovoljavaju Koši–Rimanove jednačine, onda je f holomorfna. U većoj meri zadovoljavajuću suprotnost, koja se znatno teže može dokazati, daje Luman-Menčofova teorema: ako je f kontinuirano, u i v imaju prve parcijalne derivate (mada nisu nužno kontinuirani), i oni zadovoljavaju Koši–Rimanove jednačine, onda je f holomorfno.^[8]

Reč „holomorfan” su uvela dva Košijeva studenta, Briot (1817–1882) i Buke (1819–1895), i izvedena je iz grčkih reči ὅλος (holos) sa značenjem „celokupan”, i μορφή (morphē) sa značenjem „forma” ili „izgled”.^[9]

U današnje vreme, termin „holomorfna funkcija” se donekle preferira u odnosu na „analitička funkcija”, jer je kasniji pojam opštiji koncept. To je isto tako zbog važnog rezultata u kompleksnoj analizi da je svaka holomorfna funkcija kompleksno analitička, što je činjenica koja očigledno ne sledi iz definicija. Termin „analitička” je međutim isto tako u širokoj upotrebi.

Kompleksna diferencijacija je linearna i sledi pravila proizvoda i količnika, i lančano pravilo. Stoga su sume, proizvodi i kompozicije holomorfinih funkcija holomorfne, i količnik dve holomorfne funkcije je holomorfan, gde god imenilac nije nula.^[10]

Ako se C poistoveti sa R², onda se holomorfne funkcije podudaraju sa funkcijama sa dve realne promenljive sa kontinuiranim privim derivatima kojima se rešavaju Koši-Rimanove jednačine, setom od dve parcijalne diferencijalne jednačine.^[6]

Svaka holomorfna funkcija se može razložiti na njene stvarne i imaginarne delove, a svaki od njih je rešenje Laplasove jednačine na R². Drugim rečima, ako se holomorfna funkcija f(z) izrazi u(x, y) + i v(x, y), onda su u i v harmonične funkcije, gde je v harmonični konjugat.^[11]

Košijeva integralna teorema podrazumeva da konturni integral svake holomorfne funkcije duž petlje nestaje:^[12]

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$

Ovde je γ ispravljiv put u jednostavno povezanom otvorenom podskupu U u kompleksnoj ravni C čija početna tačka je jednaka njenoj krajnjoj tački, i f : U → C je holomorfna funkcija.

Košijeva integralna teorema navodi da svaka funkcija holomorfna unutar diska je kompletno određena svojim vrednostima na granici diska.^[12] Osim toga, ako se pretpostavi da je U otvoreni podskup od C, f : U → C je holomorfna funkcija i zatvoreni disk 1=D = {z : |z − z₀| ≤ r} je kompletno sadržan u U. Neka je γ krug koji formira granicu D. Onda za svako a u unutrašnjosti od D:

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz}$

gde je konturni integral uzet u smeru suprotnom kazaljkama sata.

Derivat f′(a) se može napisati kao konturni integral^[12] koristeći Košijeve formule diferencijacije:

${\displaystyle f'(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{2}}\,dz,}$

za svaku jednostavnu petlju koja se pozitivno jednom zaokreće oko a, i

${\displaystyle f'(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)d{\bar {z}},}$

za infinitezimalno pozitivne petlje γ oko a.

U regionima gde prvi derivat nije jednaka nuli, holomorfne funkcije su konformalne u smislu da čuvaju uglove i oblik (ali ne i veličine) malih figura.^[13]

Svaka holomorfna funkcija je analitička. Drugim rečima, holomorfna funkcija f ima derivate svakog reda u svakoj tački a u svom domenu, i to se podudara sa njenom sopstvenom Tejlorovom serijom u a u blizini a. Zapravo, f se podudara sa njenom Tejlorovom serijom u a u svakom disku centriranom u toj tački i leži unutra domene funkcije.

Sa algebarske tačke gledišta, set holomorfinih funkcija na otvorenom setu je komutativni prsten i kompleksni vektorski prostor. Dodatno, set holomorfnih funkcija u otvorenom setu U je integralni domen ako i samo ako je otvoreni set U povezan.^[7] Zapravo, to je lokalno konveksan topološki vektorski prostor, pri čemu su seminorme supreme na kompaktnim podsetovima.

Sa geometrijske perspektive, funkcija f je holomorfna u z₀ ako i samo ako je njen spoljašnji derivat df u blizini U od z₀ jednak sa f′(z) dz za neku kontinuiranu funkciju f′. Iz

${\displaystyle \textstyle 0=d^{2}f=d(f^{\prime }dz)=df^{\prime }\wedge dz}$

sledi da je df′ isto tako proporcionalno sa dz, te je stoga sam derivat f′ holomorfan i f je beskonačno diferencijabilna. Slično tome, iz činjenica da je 1=d(f dz) = f′ dz ∧ dz = 0 sledi da bilo koja funkcija f koja je holomorfna na jednostavno povezanom regionu U je isto tako integrabilna na U. (Za stazu γ od z₀ do z koja u potpunosti leži unutar U, definisanu

${\displaystyle \textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }fdz}$;

u smislu teoreme Žordanove krive i generalizovane Stokesove teoreme, F_γ(z) je nezavisno od datog izbora puta γ, i stoga je F(z) dobro definisana funkcija unutar U za koji je 1=F(z₀) = F₀ i 1=dF = f dz.)

Holomorfna funkcija на Викимедијиној остави.

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Analytic function”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.