Ферми-Диракова расподела на различитим температурама Ферми-Диракова статистика у квантној физици , је функција која описује енергетску расподелу честица у систему неинтерагујућих (или врло слабо интерагујућих) фермиона . За разлику од фермиона , неинтерагујући бозони описани су Бозе-Ајнштајновом статистиком .
Последица Ферми-Диракове статистике је Паулијев принцип искључења који се односи само на фермионе , односно честице полуцелог спина као што су електрони , протони , неутрина , кваркови , итд, а не односи се на бозонске честице као што су фотони , мезони , итд.
На високим температурама и Ферми-Диракова и Бозе-Ајнштајнова статистика дају исте класичне резултате у складу са Болцмановом статистиком .[ 1]
Ферми-Диракова статистика названа је по физичарима Енрику Фермију и Полу Дираку који су је формулисали независно један од другог 1926 . године.[ 2] [ 3] спин електрона [ 4] квантни број , док спин ниједне друге честице није био познат.
Веза између спина и статистике откривена је тек 1940 . године у теореми о спину и статистици коју су предложили Фјерз[ 5] [ 6] фермионима са непарном таласном функцијом приписује Ферми-Диракову статистику, а бозонима са парном таласном функцијом приписује Бозе-Ајнштајнову статистику . Теорема о спину и статистици за бозоне је експериментално потврђена 1995 . године, а за фермионе 1999 . године.[ 7]
Откриће да честице полуцелог спина задовољавају Ферми-Диракову статистику довело је до формулисања квантне механике у другој квантизацији , што је значајно олакшало рачун термодинамичких квантно-механичких величина у вишечестичним квантним системима. Ферми-Диракова расподела је објаснила велики број феномена од транспортних особина у металима , до феномена у астрофизици .[ 1]
Ферми-Диракова расподела описана је Фермијевом функцијом
f
(
E
)
{\displaystyle f(E)}
вероватноћу да ће фермион имати енергију
E
{\displaystyle E}
температури
T
{\displaystyle T}
[ 8]
f
(
E
)
=
1
1
+
e
E
− − -->
μ μ -->
(
T
)
k
B
T
{\displaystyle f(E)={\frac {1}{1+e^{\frac {E-\mu (T)}{k_{B}T}}}}}
где је
μ μ -->
{\displaystyle \mu }
хемијски потенцијал који зависи од температуре, а
k
B
{\displaystyle k_{B}}
Болцманова константа .
Фермијева функција на различитим температурама
На ниским температурама хемијски потенцијал (који зависи од температуре) је приближно једнак хемијском потенцијалу на нултој температури
μ μ -->
≈ ≈ -->
μ μ -->
(
T
=
0
)
{\displaystyle \mu \approx \mu (T=0)}
f
(
E
)
{\displaystyle f(E)}
f
(
E
)
=
1
1
+
e
E
− − -->
E
f
k
B
T
{\displaystyle f(E)={\frac {1}{1+e^{\frac {E-E_{f}}{k_{B}T}}}}}
где је
E
f
{\displaystyle E_{f}}
Фермијева енергија (енергија последњег попуњеног енергетског нивоа на температури апсолутне нуле ) која је по дефиницији једнака хемијском потенцијалу на нултој температури
E
f
≡ ≡ -->
μ μ -->
(
T
=
0
)
{\displaystyle E_{f}\equiv \mu (T=0)}
Вредност Фермијеве функције на енергијама
E
≪ ≪ -->
E
f
{\displaystyle E\ll E_{f}}
f
(
E
f
)
=
1
2
{\displaystyle f(E_{f})={\frac {1}{2}}}
Фермијеве енергије , Фермијева функција експоненцијално опада, што значи да опада вероватноћа да ће енергетских нивои изнад Фермијевог нивоа бити попуњени.
На температури апсолутне нуле
T
=
0
K
{\displaystyle T=0K}
степ функције :
f
(
E
)
=
{
1
,
E
<
E
f
,
1
2
,
E
=
E
f
0
,
E
>
E
f
{\displaystyle f(E)={\begin{cases}1,\quad E<E_{f},\\{\frac {1}{2}},\quad E=E_{f}\\0,\quad E>E_{f}\end{cases}}}
На високим температурама хемијски потенцијал, који такође зависи од температуре, је
μ μ -->
<
0
{\displaystyle \mu <0}
|
μ μ -->
|
≫ ≫ -->
k
B
T
{\displaystyle |\mu |\gg k_{B}T}
Болцманову расподелу :
[
e
E
− − -->
μ μ -->
k
B
T
+
1
]
− − -->
1
≃ ≃ -->
[
e
E
− − -->
μ μ -->
k
B
T
]
− − -->
1
=
e
μ μ -->
k
B
T
e
− − -->
E
k
B
T
≈ ≈ -->
e
− − -->
E
k
B
T
{\displaystyle [e^{\frac {E-\mu }{k_{B}T}}+1]^{-1}\simeq [e^{\frac {E-\mu }{k_{B}T}}]^{-1}=e^{\frac {\mu }{k_{B}T}}e^{\frac {-E}{k_{B}T}}\approx e^{-{\frac {E}{k_{B}T}}}}
Под првом квантизацијом квантне механике подразумева се историјски први опис квантно-механичких система, преко таласне функције .
Ферми-Диракова статистика изведена је из особине таласне функције која описује фермионе. Фермионска таласна функција мора бити непарна функција на замену места честицама, односно:
Ψ Ψ -->
(
x
1
,
x
2
)
=
− − -->
Ψ Ψ -->
(
x
2
,
x
1
)
{\displaystyle \Psi (x_{1},x_{2})=-\Psi (x_{2},x_{1})}
за разлику од бозонске таласне функције која је парна функција на замену места, тако да замена места честицама не мења таласну функцију:
Ψ Ψ -->
(
x
1
,
x
2
)
=
Ψ Ψ -->
(
x
2
,
x
1
)
{\displaystyle \Psi (x_{1},x_{2})=\Psi (x_{2},x_{1})}
^ а б S Chaturvedi and Shyamal Biswas. „Fermi–Dirac Statistics” . Приступљено 31. 10. 2019 . ^ Fermi, E. (1926). „Zur Quantelung des idealen einatomigen Gases” . Zeitschrift für Physik . 36 (11-12): 902—912. ISSN 1434-6001 . doi :10.1007/bf01400221 . ^ Dirac, P. A. M. (1. 10. 1926). „On the Theory of Quantum Mechanics” . Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences (на језику: енглески). 112 (762): 661—677. ISSN 1364-5021 . doi :10.1098/rspa.1926.0133 . ^ UHLENBECK, G. E.; GOUDSMIT, S. (1926). „Spinning Electrons and the Structure of Spectra” . Nature . 117 (2938): 264—265. ISSN 0028-0836 . doi :10.1038/117264a0 . ^ Fierz-David, Hans Eduard; Brassel, Jakob; Probst, Fritz (1939). „Zur Kenntnis der Triphendioxazine” . Helvetica Chimica Acta . 22 (1): 1348—1358. ISSN 0018-019X . doi :10.1002/hlca.193902201170 . ^ Pauli, W. (15. 10. 1940). „The Connection Between Spin and Statistics” . Physical Review . 58 (8): 716—722. ISSN 0031-899X . doi :10.1103/physrev.58.716 . ^ DeMarco, B. (10. 9. 1999). „Onset of Fermi Degeneracy in a Trapped Atomic Gas” . Science . 285 (5434): 1703—1706. ISSN 0036-8075 . doi :10.1126/science.285.5434.1703 . ^ „Carrier distribution functions” . ecee.colorado.edu . Архивирано из оригинала 20. 10. 2019. г. Приступљено 1. 11. 2019 .
.svg)
![{\displaystyle [e^{\frac {E-\mu }{k_{B}T}}+1]^{-1}\simeq [e^{\frac {E-\mu }{k_{B}T}}]^{-1}=e^{\frac {\mu }{k_{B}T}}e^{\frac {-E}{k_{B}T}}\approx e^{-{\frac {E}{k_{B}T}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8364de5f2bba794892de3b0e74f8a269b8bc059d)
