Бернулијеви полиноми у математици представљају полиноме, који су добили име према Јакобу Бернулију , а сусрећу се приликом изучавања многих специјалних функција, а посебно Риманове зета функције и Хурвицове зета функције.
B
n
(
x
)
=
∑ ∑ -->
k
=
0
n
(
n
k
)
B
n
− − -->
k
x
k
{\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k}}
(
n
k
)
{\displaystyle {n \choose k}}
биномни коефицијенти , а
B
k
{\displaystyle \ B_{k}}
Бернулијеви бројеви .Или
B
n
(
x
)
=
∑ ∑ -->
m
=
0
n
1
m
+
1
∑ ∑ -->
k
=
0
m
(
− − -->
1
)
k
(
m
k
)
(
x
+
k
)
n
.
{\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{m \choose k}(x+k)^{n}.}
Генерирајућа функција Бернулијевих полинома је:
t
e
x
t
e
t
− − -->
1
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
B
n
(
x
)
t
n
n
!
.
{\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}
Бернулијеви полиноми Неколико првих Бернулијевих полинома:
B
0
(
x
)
=
1
,
{\displaystyle \ B_{0}(x)=1,}
B
1
(
x
)
=
x
− − -->
1
2
,
{\displaystyle B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2}},}
B
2
(
x
)
=
x
2
− − -->
x
+
1
6
,
{\displaystyle B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6}},}
B
3
(
x
)
=
x
3
− − -->
3
2
x
2
+
1
2
x
,
{\displaystyle B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,}
B
4
(
x
)
=
x
4
− − -->
2
x
3
+
x
2
− − -->
1
30
x
,
{\displaystyle B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}x,}
B
5
(
x
)
=
x
5
− − -->
5
2
x
4
+
5
3
x
3
− − -->
1
6
x
,
{\displaystyle B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x,}
B
6
(
x
)
=
x
6
− − -->
3
x
5
+
5
2
x
4
− − -->
1
2
x
2
+
1
42
.
{\displaystyle B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.}
B
n
(
0
)
=
B
n
{\displaystyle \ B_{n}(0)=B_{n}}
Рачунајући извод генерирајуће функције по x добија се:
t
2
e
t
x
1
e
t
− − -->
1
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
B
n
′
(
x
)
n
!
t
n
{\displaystyle t^{2}\ e^{tx}{\frac {1}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}t^{n}}
Лева страна разликује се од генерирајуће функције само по t, па је:
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
B
n
′
(
x
)
n
!
t
n
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
B
n
(
x
)
n
!
t
n
+
1
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}t^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}(x)}{n!}}t^{n+1}}
Из чега се добија
B
n
′
(
x
)
n
!
=
B
n
− − -->
1
(
x
)
(
n
− − -->
1
)
!
{\displaystyle {\frac {B'_{n}(x)}{n!}}={\frac {B_{n-1}(x)}{(n-1)!}}}
B
n
′
(
x
)
=
n
B
n
− − -->
1
(
x
)
{\displaystyle \ B'_{n}(x)=nB_{n-1}(x)}
Из последње једначине добија се правило интегрирања Бернулијевих полинома:
B
n
(
x
)
=
B
n
+
n
∫ ∫ -->
0
x
B
n
− − -->
1
(
t
)
d
t
{\displaystyle \ B_{n}(x)=B_{n}+n\int _{0}^{x}B_{n-1}(t)\,dt}
∫ ∫ -->
0
1
B
n
(
x
)
d
x
=
1
{\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(x)dx=1}
n
>
0
{\displaystyle n>0}
Следећа сума позната као Фаулхаберова формула даде се приказати помоћу Бернулијевих полинома:
∑ ∑ -->
k
=
0
x
k
p
=
B
p
+
1
(
x
+
1
)
− − -->
B
p
+
1
(
0
)
p
+
1
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{x}k^{p}={\frac {B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}}.}
∫ ∫ -->
a
x
B
n
(
t
)
d
t
=
B
n
+
1
(
x
)
− − -->
B
n
+
1
(
a
)
n
+
1
{\displaystyle \int _{a}^{x}B_{n}(t)\,dt={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}}
Definite integrals
∫ ∫ -->
0
1
B
n
(
t
)
B
m
(
t
)
d
t
=
(
− − -->
1
)
n
− − -->
1
m
!
n
!
(
m
+
n
)
!
B
n
+
m
for
m
,
n
≥ ≥ -->
1
{\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\mbox{ for }}m,n\geq 1}
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0-486-61272-0
