Von Staudt-Clausenov izrek je v teoriji števil izrek o ulomljenem delu Bernoullijevih števil. Če k Bernoullijevemu številu B_n prištejemo 1/p za vsako takšno praštevilo p, da ${\displaystyle p-1}$ deli n, dobimo celo število.

Izrek omogoča zapis imenovalcev neničelnih Bernoullijevih števil B_n kot produkt vseh takšnih praštevil p, da ${\displaystyle p-1}$ deli n. Zaradi tega so imenovalci deljivi brez kvadrata in deljivi s 6.

Izrek sta neodvisno odkrila Karl von Staudt (1798–1867) in Thomas Clausen (1801–1885) leta 1840. Izrek je odkril tudi Ramanudžan.^[1]

Von Staudt-Clausenova formula je dana z^[2]:

${\displaystyle (-1)^{n}B_{2n}\equiv \sum _{p\in \mathbb {P} \atop (p-1)|2n}{\frac {1}{p}}{\pmod {1}};\quad n>0\!\,,}$

oziroma z^[1]:

${\displaystyle B_{2n}=A_{n}-\sum _{p\in \mathbb {P} \atop (p-1)|2n}{\frac {1}{p}};\quad n>0\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle A_{n}}$ celo število (OEIS A000146).

Za prvih nekaj neničelnih Bernoullijevih števil je vsota enaka:

${\displaystyle B_{2}=1-1/2-1/3=1/6\!\,,}$

${\displaystyle B_{4}=1-1/2-1/3-1/5=-1/30\!\,,}$

${\displaystyle B_{6}=1-1/2-1/3-1/7=1/42\!\,,}$

${\displaystyle B_{8}=1-1/2-1/3-1/5=-1/30\!\,,}$

${\displaystyle B_{10}=1-1/2-1/3-1/11=5/66\!\,,}$

${\displaystyle B_{12}=1-1/2-1/3-1/5-1/7-1/13=-691/2730\!\,,}$

${\displaystyle B_{14}=2-1/2-1/3=7/6\!\,,}$

${\displaystyle B_{16}=-6-1/2-1/3-1/5-1/7-1/13=-3617/510\!\,,}$

${\displaystyle B_{18}=56-1/2-1/3-1/5-1/11=43867/798\!\,,}$

${\displaystyle B_{20}=-528-1/2-1/3-1/5-1/11=-174611/330\!\,.}$

Praštevila, ki nastopajo v imenovalcih, tvorijo zaporedje (OEIS A080092):

2, 3, 2, 3, 5, 2, 3, 7, 2, 3, 5, 2, 3, 11, 2, 3, 5, 7, 13, 2, 3, 2, 3, 5, 17, 2, 3, 7, 19, 2, 3, 5, 11, 2, 3, 23, 2, 3, 5, 7, 13, 2, 3, ...

• Fee, Greg; Plouffe, Simon (2007). »An efficient algorithm for the computation of Bernoulli numbers«. arXiv:math/0702300.

• Weisstein, Eric Wolfgang. »von Staudt-Clausen Theorem«. MathWorld.