Simplektična matrika matrike ${\displaystyle M\,}$ je matrika z razsežnostjo ${\displaystyle 2n\times 2n\,}$ za katero velja:

${\displaystyle M^{T}\Omega M=\Omega \ \!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle M^{T}\,}$ transponirana matrika matrike ${\displaystyle M\,}$
• ${\displaystyle M\Omega \,}$ je nesingularna poševnosimetrična matrika.

Običajno se za ${\displaystyle \Omega \,}$ uporabi bločna matrika oblike:

${\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle I_{n}\,}$ enotska matrika z razsežnostjo ${\displaystyle n\times n\,}$

• simplektična matrika je obrnljiva. Obratna matrika je

${\displaystyle M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{T}\Omega .}$

• produkt dveh simplektičnih matrik je zopet simplektična matrika. Tako množica simplektičnih tvori grupo. Obstoja tudi naravna mnogoterost v tej grupi, ki jo vključuje med Liejeve grupe in jo tam imenujemo simplektična grupa.
• determinanta simplektične matrike je ±1.
• če je ${\displaystyle \Omega \,}$ dan v običajni obliki in ima matrika ${\displaystyle M\,}$ razsežnost ${\displaystyle 2n\times 2n\,}$ ter ima obliko bločne matrike

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

kjer so

• ${\displaystyle A,B,C,D\,}$ matrike ${\displaystyle n\times n\,}$

potem so pogoji, da je matrika ${\displaystyle M\,}$ simplektična, enaki naslednjim pogojem

${\displaystyle A^{T}D-C^{T}B=I\,}$

${\displaystyle A^{T}C=C^{T}A\,}$

${\displaystyle D^{T}B=B^{T}D\,}$.

• simplektični vektorski prostor
• simplektična grupa