Szemerédiho veta hovorí, že každá podmnožina prirodzených čísel s kladnou hornou asymptotickou hustotou obsahuje konečné aritmetické postupnosti ľubovoľnej dĺžky. Szemerédiho veta zovšeobecňuje van der Waerdenovu vetu.

Tvrdenie Szemerédiho vety navrhol ako zaujímavú hypotézu Paul Erdős a Paul Turán v roku 1936.

História postupného dokazovania Szemerédiho vety sa odvíja od maximálnej dĺžky ${\displaystyle k}$ konečných aritmetických podpostupností, ktoré predchodcovia Szemerédiho vety v podmnožine prirodzených čísel garantovali.

• Prípady ${\displaystyle k=1}$ a ${\displaystyle k=2}$, teda tvrdenia garantujúce existenciu jedno a dvojprvkových postupností sú triviálne, pretože ľubovoľné číslo alebo ľubovoľná dvojica čísel tvorí triviálnu konečnú aritmetickú postupnosť.
• Prípad ${\displaystyle k=3}$ zodpovedal pozitívne Klaus Roth v roku 1956.
• Prípad ${\displaystyle k=4}$ pozitívne zodpovedal Endre Szemerédi v roku 1969.
• V roku 1972 prípad ${\displaystyle k=4}$ vyriešil aj Roth použijúc metódu podobnú tej, ktorou predtým vyriešil prípad ${\displaystyle k=3}$.
• Pre ľubovoľné ${\displaystyle k}$ tvrdenie nakoniec dokázal Szemerédi v roku 1975.
• V roku 1977 podal Hillel Furstenberg doležitý alternatívny dôkaz Szemerédiho vety založený na ergodickej teórii.
• V roku 2001 podal Timothy Gowers iný alternatívny dôkaz.

• Bartel Leendert van der Waerden
• Erdősova-Turánova hypotéza
• Greenova-Taova veta

Matematický portál