Bol jedináčik, jeho otec bol kožušník, mama bola modelka a vyučená klobučníčka. Bola Židovka a zahynula v koncentračnom tábore, čo by sa možno nestalo, keby sa s ňou manžel nerozviedol. Tento fakt Kopeckého významne poznamenal a pravdepodobne prispel i k neskorším psychickým ťažkostiam. Sám sa v roku 1944 dostal na sedem mesiacov do koncentračného tábora. Po oslobodení sa zamestnal v divadle.
Bol niekoľkokrát ženatý (manželstvo s herečkou Stellou Zázvorkovou vydržalo rok, mali spolu dcéru, ktorá si v mladom veku vzala život).
Bol členom KSČ. Začiatkom osemdesiatych rokov moderoval protiemigrantský a prorežimný seriál Československej televízie Krok do neznáma. V roku 1977 podpísal Antichartu.
