Hamiltonova funkcia alebo hamiltonián je funkcia, ktorá charakterizuje stav fyzikálnej sústavy vo fázovom priestore pri daných fyzikálnych podmienkach.^[1] Je nazvaná podľa írskeho fyzika W. R. Hamiltona.

Hamiltonova funkcia ${\displaystyle H}$ je funkciou:

• zovšeobecnených hybností ${\displaystyle p_{i}}$
• zovšeobecnených súradníc ${\displaystyle q_{i}}$
• času ${\displaystyle t}$

Jej tvar je ${\displaystyle H(p_{i},q_{i},t)=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}$, kde ${\displaystyle p_{i}}$ je zovšeobecnená hybnosť, ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ zovšeobecnená rýchlosť a ${\displaystyle L}$ je Lagrangeova funkcia.^[2]

Prechod medzi Lagrangeovým a Hamiltonovým spôsobom zápis pohybových rovníc tvorí Legendrova transformácia.^[2] Z Hamiltonovej funkcie možno prejsť k Hamiltonovým kánonickým rovniciam, ktoré sú pohybovými rovnicami v Hamiltonovom formalizme.

• v karteziánskych súradniciach: ${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right)+U(x,y,z)}$
• v cylindrických súradniciach (${\displaystyle r}$ - polomer, ${\displaystyle \varphi }$ uhol, ${\displaystyle z}$ súradnica na osi z): ${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}}}+p_{z}^{2}\right)+U(r,\varphi ,z)}$
• v sférických súradniciach: ${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(p_{r}^{2}+{\frac {p_{\vartheta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\vartheta }}\right)+U(r,\vartheta ,\varphi )}$

Tento článok týkajúci sa fyziky je zatiaľ „výhonok“. Pomôž Wikipédii tým, že ho doplníš a rozšíriš.