Четырёхкратная секущая — прямая, проходящая через четыре точки данной пространственной кривой.

• Кривые общего положения не имеют секущих кратности 5 и больше.
  • Для таких кривых четырёхкратные секущие образуют дискретное множество прямых.
• В трёхмерном евклидовом пространстве каждый нетривиальный узел или зацепление имеет четырёхкратную секущую. Более того, любой узел имеет альтернированную четырёхкратную секущую, то есть секущую в которой четыре точки пересечения появляются в разных циклических порядках на узле и на прямой. Это утверждение было доказано Эрикой Паннвиц^[1] для ручных узлов, результат был обобщён на узлы общего положения^[2], а затем на все нетривиальные ручные узлы и зацепления.
  • Из этого утверждения легко выводится теорема Фари — Милнора о повороте узла.
  • Не известно любой ли дикий узел имеет бесконечное число четырёхкратных секущих.^[3]

• Формула Кейли^[4] даёт число четырёхкратных секущих алгебраической кривой в трёхмерном комплексном проективном пространстве в зависимости от степени ${\displaystyle d}$ и рода ${\displaystyle g}$:

  ${\displaystyle {\frac {(d-2)(d-3)^{2}(d-4)}{12}}-{\frac {g(d^{2}-7d+13-g)}{2}}.}$

Предполагается, что кривая не особая; для особых кривых требуются поправочные члены.

• В трёхмерном евклидовом пространстве каждый набор из четырёх скрещивающихся прямых в общем положении имеет либо две четырёхкратные секущие либо ни одной.

• Anton Petrunin, Stephan Stadler. Six proofs of the Fáry–Milnor theorem (англ.). — arXiv:2203.15137.