Четверная группа Клейна

Четверна́я гру́ппа Кле́йна — нециклическая конечная коммутативная группа четвёртого порядка, играет важную роль в общей алгебре, комбинаторике и геометрии. Обычно обозначается или (от нем. Vierergruppe — четверная группа). Впервые описана и исследована Феликсом Клейном в 1884 году.

Бинарная операция между элементами (единица — нейтральный элемент группы) задаётся следующей таблицей Кэли[1]:

Порядок каждого элемента, отличного от единицы, равен 2, поэтому группа не является циклической. Является прямым произведением циклических групп второго порядка ; наименьшей по порядку нециклической группой.

Является простейшей группой диэдра [2]. Любая группа четвёртого порядка изоморфна либо циклической группе, либо четверной группе Клейна. Симметрическая группа имеет, кроме себя самой и единичной подгруппы, лишь две нормальные подгруппы — знакопеременную группу и четверную группу Клейна , состоящую из подстановок [2].

Симметрии ромба

Встречается во многих разделах математики, примеры изоморфных ей групп:

  • множество с операцией побитовое исключающее ИЛИ;
  • приведённая система вычетов по модулю 8, состоящая из классов 1, 3, 5, 7 и по модулю 12, состоящая из классов 1, 5, 7, 11;
  • группа симметрий ромба в трёхмерном пространстве, состоящая из 4 преобразований: тождественное, поворот на и два отражения относительно диагоналей[3].
  • группа поворотов тетраэдра на угол вокруг всех трёх рёберных медиан (вместе с тождественным поворотом)[4].

Примечания

  1. Александров, 1980, гл. 1 «Понятие группы», п. 2 «Вводные примеры», п. 4 «Клейновская группа четвёртого порядка», с. 23.
  2. 1 2 В. Ф. Зайцев. п. 2, Дискретные группы преобразований // Введение в современный групповой анализ. — СПб., 1996. — С. 10.
  3. Александров, 1980, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 3 «Случай вырождения: группы поворотов отрезка и ромба», с. 71.
  4. Александров, 1980, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 4 «Группа поворотов правильного тетраэдра», с. 75.

Литература

  • П. С. Александров. Введение в теорию групп. — М.: Наука, 1980. — 144 с. с. — (Библиотечка Квант, вып. 7).
  • Ф. Клейн. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. — М.: Наука, 1989. — 336 с.

Read other articles:

Litograf Konferensi London 1830 karya Honoré Daumier. Konferensi London 1830 dihadiri oleh perwakilan-perwakilan lima negara besar Eropa, yaitu Austria, Britania Raya, Prancis, Prusia dan Rusia. Konferensi ini mengakui keberhasilan revolusi Belgia dan menjamin kemerdekaan Belgia dari Belanda. Negara-negara ini menolak rencana pembagian Belgia yang digagas oleh Talleyrand berdasarkan perbatasan linguistik. Konferensi ini mendukung kesatuan negara Belgia yang dihuni oleh penutur bahasa Prancis...

 

Untuk kegunaan lain, lihat Pemanggangan. Penyelaran adalah proses memasak bahan makanan dengan menggunakan panas api yang tinggi dan langsung. Sumber panas/api biasanya berada di bawah bahan makanan yang sedang dimasak/panggang. Alat yang digunakan memasak disebut pemanggang dan dilengkapi dengan jeruji kawat. Jeruji ini berfungsi sebagai penahan bahan makanan yang sedang dimasak/dipanggang, selain itu fungsi lainnya juga untuk membuat bagian yang matang dan gosong berbentuk jeruji pula. Kego...

 

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Oktober 2022. BeatoGhébrē-MichaelC.M.Imam; MartirLahir1791Dibo, Gojam Barat, EtiopiaMeninggal30 July 1855 (aged 64)antara Meccia Coreccia dan Molicha Gebaba, Mirab Shewa, EtiopiaDihormati diGereja Katolik RomaBeatifikasi3 Oktober 1926, Basilika Santo Petrus, Keraj...

Saloon car This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Proton Waja – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (May 2013) (Learn how and when to remove this template message) Motor vehicle Proton WajaOverviewManufacturerProtonAlso calledProton Impian (United Kingdom, Iran, Pakistan)ProductionMay 2...

 

Cles commune di Italia Cles (it) Tempat categoria:Articles mancats de coordenades Negara berdaulatItaliaRegion otonom dengan status khususTrentino-Tirol SelatanProvinsi di ItaliaTrentino Ibu kota dariVal di Non (en) (2006–) NegaraItalia Ibu kotaCles PendudukTotal7.201  (2023 )GeografiLuas wilayah39,17 km² [convert: unit tak dikenal]Ketinggian656 m Berbatasan denganCagnò Caldes Cavizzana Cis Croviana Dimaro Folgarida (en) Livo Malè Novella (en) Terzolas Sanzeno Ville d'Anaun...

 

برج ساعة حمص القديمةمعلومات عامةنوع المبنى برج ساعة المنطقة الإدارية حمص البلد  سوريا المدينة حمصمعلومات أخرىالإحداثيات 34.732599106869536, 36.713608916369026تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بيانات برج ساعة حمص القديمة هو برج قديم في مدينة حمص يعود تاريخ بناءه إلى عام 1923 بناه الفرنسيون �...

Census-designated place in California, United StatesTiptoncensus-designated placeLocation in Tulare County and the state of CaliforniaTiptonLocation in the United StatesCoordinates: 36°3′33″N 119°18′37″W / 36.05917°N 119.31028°W / 36.05917; -119.31028Country United StatesState CaliforniaCountyTulareArea[1] • Total1.010 sq mi (2.615 km2) • Land1.010 sq mi (2.615 km2) • Water...

 

Artikel ini kemungkinan dibuat atau disunting oleh seseorang untuk menerima imbalan atau bayaran tetapi tidak dikemukakan secara terbuka sehingga kemungkinan melanggar kebijakan dan ketentuan penggunaan Wikimedia Foundation. Silakan memperbaiki artikel ini untuk memenuhi kebijakan konten Wikipedia terutama kebijakan sudut pandang netral. Artikel ini berisi konten yang ditulis dengan gaya sebuah iklan. Bantulah memperbaiki artikel ini dengan menghapus konten yang dianggap sebagai spam dan ...

 

Un chromophore est un groupement d'atomes comportant une ou plusieurs doubles liaisons, et formant avec le reste de la molécule une séquence de doubles liaisons conjuguées, c'est-à-dire une alternance de doubles et de simples liaisons. L'existence d'une séquence suffisamment longue de doubles liaisons conjuguées dans une molécule organique, ou l'association avec un ou plusieurs auxochromes, crée un nuage électronique délocalisé pouvant entrer en résonance avec le rayonnement incid...

Proposed chain of underwater five-star resorts Poseidon Undersea ResortsParentU.S.Submarines, IncWebsitePoseideon Undersea Resorts Poseidon Undersea Resorts was a proposed chain of underwater five-star resorts that was first slated to open by September 2008.[1] The first was to be located on a private island in Fiji. The project was to be the world's first permanent one-atmosphere seafloor structure.[2][3] Concept Poseidon was conceived and developed by L. Bruce Jones,...

 

Further information: List of elm species This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: List of elm cultivars, hybrids and hybrid cultivars – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (November 2023) (Learn how and when to remove this template message) The starting-points for List of elm cultivars, hybri...

 

Cambodian girls on a bicycle Youth in Cambodia (under age thirty) make up 65.3% of Cambodia's 14,805,000 people.[1] Twenty-six percent of Cambodians are between the ages of 14 and 30 and another 30% are under 14.[2] All of the youth in the country are second and third generation offspring of survivors of the Khmer Rouge, a genocide that occurred from 1975-1979.[2] Roughly 20% of the population resides in its cities, mostly in Phnom Penh, the capital.[3] Childho...

White Cliffs Solar Power Station, Australia's first solar power station operated between 1981 and 2004 Renewable energy in Australia is mainly based on biomass, solar, wind, and hydro generation. Over a third of electricity is generated from renewables, and is increasing, with a target to phase out coal power before 2040.[1] Wind energy and rooftop solar have particularly grown since 2010. The growth has been stimulated by government energy policy in order to limit the rate of climat...

 

Бригада «Меркавот ха-Эш»ивр. עוצבת מרכבות האש‎ Эмблема бригады Годы существования 1983 — 2014 Страна  Израиль Подчинение Сухопутные войска Израиля Входит в Дивизия «Гааш» Тип резервная бригада Меркавот ха-Эш (ивр. עוצבת מרכבות האש‎, также 263-я бригада) — резервная ...

 

American department store in Michigan Herpolsheimer'sIllustration of the downtown Grand Rapids store from a 1921 adCompany typeDepartment storePredecessorVoight Herpolshiemer & Co.Founded1865; 159 years ago (1865) in Michigan City, Indiana, United StatesFoundersWilliam G. HerpolsheimerCharles G. A. VoigtDefunct1987 (1987)FatePurchased by Federated Department StoresHeadquartersGrand Rapids, Michigan, United StatesAreas servedGrand Rapids, Muskegon and Battle Creek He...

Військово-музичне управління Збройних сил України Тип військове формуванняЗасновано 1992Країна  Україна Емблема управління Військово-музичне управління Збройних сил України — структурний підрозділ Генерального штабу Збройних сил України призначений для планува...

 

Konsole — эмулятор терминала в KDE GNOME Terminal — эмулятор терминала в GNOME Эмулятор терминала, приложение терминала, term или tty для краткости — это программа, которая эмулирует терминал компьютера внутри некоторой другой архитектуры вывода данных на экран. Несмотря на глу�...

 

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: List of films shot in Arizona – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2019) (Learn how and when to remove this message) This is a list of films that were filmed in the U.S. state of Arizona. Arizona's diverse geography make it an ideal place for...

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (أبريل 2018) منى غانم المري معلومات شخصية مكان الميلاد دبي  الإمارات العربية المتحدة الجنسية إماراتية منصب مدير عام المكتب الإعلامي لحكومة دبي بداية 2012 الحياة العملي�...

 

This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help improve this article by introducing more precise citations. (April 2023) (Learn how and when to remove this message) Sharp EL-500W seriesManufacturerSharp CorporationTypeScientific Sharp EL-500W series include a range of scientific calculators made by Sharp Corporation, capable of displaying 2 lines, with multi-line playback. It is the s...