PROFILPELAJAR.COM

Характеристическое число ядра интегрального уравнения — это комплексное значение $\lambda$ , при котором однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода

\varphi (x)=\lambda \int _{G}K(x,y)\varphi (y)\,dy

имеет нетривиальное (то есть не равное тождественно нулю) решение $\varphi (x)$ , называемое собственной функцией. Здесь $G$ — область в $\mathbb {R} ^{n}$ , $K(x,y)$ — ядро интегрального уравнения. Характеристические числа — это величины, обратные собственным значениям интегрального оператора с ядром $K(x,y)$ ^[1]. Значения $\lambda$ , не являющиеся характеристическими числами, называются регулярными. Если $\lambda$ — регулярное значение, интегральное уравнение Фредгольма второго рода

\varphi (x)=\lambda \int _{G}K(x,y)\varphi (y)\,dy+f(x)

имеет единственное решение при любом свободном члене $f(x)$ ; характеристические числа — это «особые точки», в которых решения не существует или существует бесконечно много решений в зависимости от свободного члена $f(x)$ ^[2].

Свойства

Характеристические числа непрерывного ядра обладают следующими свойствами:

Множество характеристических чисел счётно и не имеет конечных предельных точек.
Кратностью характеристического числа называется число отвечающих ему линейно независимых собственных функций. Кратность каждого характеристического числа конечна.
Из первых двух свойств вытекает, что характеристические числа можно пронумеровать в порядке возрастания их модуля:

|\lambda _{1}|\leq |\lambda _{2}|\leq \dots ,

повторяя при этом число $\lambda _{k}$ столько раз, какова его кратность.

${\bar {\lambda }}_{1},\,{\bar {\lambda }}_{2},\dots$ — все характеристические числа союзного ядра $K^{*}(x,y)={\overline {K(y,x)}}$ .
Если $\lambda _{k}\neq \lambda _{i}$ и $\varphi _{k}=\lambda _{k}K\varphi _{k}$ , $\psi _{i}={\bar {\lambda }}_{i}K^{*}\psi _{i}$ , то есть $\varphi _{k}$ и $\psi _{i}$ — собственные функции ядер $K(x,y)$ и $K^{*}(x,y)$ соответственно, то $(\varphi _{k},\psi _{i})=0$ — собственные функции ортогональны в пространстве $L_{2}(G)$ .
Повторное ядро $K_{p}(x,y)$ имеет характеристические числа $\lambda _{k}^{p}$ и те же собственные функции $\varphi _{k}$ , что и ядро $K(x,y)$ .
Обратно, если $\mu$ и $\varphi$ — характеристическое число и соответствующая собственная функция повторного ядра $K_{p}(x,y)$ , то по крайней мере один из корней $\lambda _{j},\,j=1,2,\dots ,p,$ уравнения $\lambda ^{p}=\mu$ является характеристическим числом ядра $K(x,y)$ ^[3].
Множество характеристических чисел эрмитова непрерывного ядра не пусто и расположено на вещественной оси, система собственных функций может быть выбрана ортонормированной^[4].
Характеристические числа совпадают с полюсами резольвенты^[2].
Вырожденное ядро имеет конечное число характеристических чисел^[5].
Непрерывное ядро Вольтерры не имеет характеристических чисел^[6].

См. также

Примечания

↑ Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, с. 271.
↑ ¹ ² Краснов М. Л. Интегральные уравнения, 1975, с. 35.
↑ Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, глава IV, §18, п. 4.
↑ Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, с. 306.
↑ Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, с. 292.
↑ Владимиров В. С. Уравнения математической физики, 1981, с. 280.

Литература

Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 4-е. — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. — 512 с.
Краснов М. Л. Интегральные уравнения. (Введение в теорию). — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1975.
Манжиров А. В., Полянин А. Д. Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. — М.: Факториал Пресс, 2000. — 384 с. — ISBN 5-88688-046-1.