Уравнение Рэлея — Плессета (уравнение Безанта — Рэлея — Плессета) — нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, которое определяет динамику сферического пузырька в бесконечном теле несжимаемой жидкости^[1][2][3][4]:

${\displaystyle R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}+{\frac {\Delta P(t)}{\rho _{L}}}=0}$,

где

${\displaystyle \rho _{L}}$ — плотность окружающей жидкости, считающаяся постоянной

${\displaystyle R(t)}$ — радиус пузыря

${\displaystyle \nu _{L}}$ — кинематическая вязкость окружающей жидкости, считающаяся постоянной.

${\displaystyle \sigma }$ — поверхностное натяжение границы раздела пузырь-жидкость

${\displaystyle \Delta P(t)=P_{\infty }(t)-P_{B}(t)}$, где ${\displaystyle P_{B}(t)}$ — давление внутри пузырька, считается однородным, и ${\displaystyle P_{\infty }(t)}$ — внешнее давление, бесконечно удаленное от пузыря

При условии, что ${\displaystyle P_{B}(t)}$ известно и ${\displaystyle P_{\infty }(t)}$ задано, то для решения задачи об изменяющемся во времени радиусе пузырька ${\displaystyle R(t)}$ можно использовать уравнение Рэлея — Плессета.

Уравнение Рэлея — Плессета выводится из уравнений Навье — Стокса в предположении сферической симметрии^[4].

Без учёта поверхностного натяжения и вязкости уравнение было впервые опубликовано Уильямом Генри Безантом^[англ.] в книге 1859 года со следующей формулировкой задачи: бесконечная масса однородной несжимаемой жидкости, на которую не действуют никакие силы, находится в покое, а сферическая часть жидкости внезапно аннигилирует; требуется найти мгновенное изменение давления в любой точке жидкости и время, за которое полость заполнится, при этом давление на бесконечном расстоянии должно оставаться постоянным^[5]. Безант предсказал время, необходимое для заполнения пустой полости начального радиуса ${\displaystyle R_{0}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=R_{0}{\sqrt {\frac {6\rho }{P_{\infty }}}}\int _{0}^{1}{\frac {z^{4}\,dz}{\sqrt {1-z^{6}}}}\\&=R_{0}{\sqrt {\frac {\pi \rho }{6P_{\infty }}}}{\frac {\Gamma (5/6)}{\Gamma (4/3)}}\\&\approx 0{,}91468R_{0}{\sqrt {\frac {\rho }{P_{\infty }}}}\end{aligned}}}$

Лорд Рэлей нашёл более простой вывод того же результата, который основан на законе сохранения энергии. Кинетическая энергия втекающей жидкости равна ${\displaystyle 2\pi \rho U^{2}R^{3}}$, где ${\displaystyle R}$ — зависящий от времени радиус пустоты, а ${\displaystyle U}$ — радиальная скорость жидкости в ней. Работа, совершаемая жидкостью, вдавливающейся в бесконечность, равна ${\displaystyle 4\pi P_{\infty }(R_{0}^{3}-R^{3})/3}$. Приравнивание этих двух энергий дает соотношение между ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle U}$. Тогда, отмечая, что ${\displaystyle U=\partial R/\partial t}$, методом разделения переменных получаем результат Безанта. Рэлей пошёл дальше Безанта, оценив интеграл (бета-функцию Эйлера) через гамма-функции. Рэлей применил этот подход к случаю полости (пузырьку), заполненной идеальным газом, включив работу, совершаемую при сжатии газа.

Для случая абсолютной пустоты Рэлей определил, что давление ${\displaystyle P}$ в жидкости при радиусе ${\displaystyle r}$ определяется следующим образом:

${\displaystyle {\frac {P}{P_{\infty }}}-1={\frac {R}{3r}}\left({\frac {R_{0}^{3}}{R^{3}}}-4\right)-{\frac {R^{4}}{3r^{4}}}\left({\frac {R_{0}^{3}}{R^{3}}}-1\right)}$ .

Когда объём пустоты составляет не менее четверти своего начального объёма, давление монотонно убывает от ${\displaystyle P_{\infty }}$ на бесконечности до нуля в ${\displaystyle R}$. По мере дальнейшего сжатия пустоты максимум давления, превышающий ${\displaystyle P_{\infty }}$, появляется при

${\displaystyle r^{3}={\frac {4(R_{0}^{3}-R^{3})R^{3}}{R_{0}^{3}-4R^{3}}}}$,

очень быстро растёт и сходится в пустоте.

Впервые это уравнение было применено к движущимся кавитационным пузырькам Милтоном Плессетом^[англ.] в 1949 году путём включения в него эффектов поверхностного натяжения^[6].

Уравнение Рэлея — Плессета можно полностью вывести на основе первых принципов, используя радиус пузырька в качестве динамического параметра^[3]. Для сферического пузыь радиус ${\displaystyle R(t)}$ которого зависит от времени, где ${\displaystyle t}$ — это время. Предположим, что в пузырьке находится однородно распределённый пар/газ с равномерной температурой ${\displaystyle T_{B}(t)}$ и давлением ${\displaystyle P_{B}(t)}$. За пределами пузырька находится бесконечная область жидкости с постоянной плотностью ${\displaystyle \rho _{L}}$ и динамической вязкостью ${\displaystyle \mu _{L}}$. Пусть температура и давление вдали от пузырька равны ${\displaystyle T_{\infty }}$ и ${\displaystyle P_{\infty }(t)}$. Температура ${\displaystyle T_{\infty }}$ предполагается постоянной. На радиальном расстоянии ${\displaystyle r}$ от центра пузырька изменяющимися свойствами жидкости являются давление ${\displaystyle P(r,t)}$, температура ${\displaystyle T(r,t)}$ и скорость движения в радиальном направлении ${\displaystyle u(r,t)}$. Эти свойства жидкости определяются только вне пузырька, то есть ${\displaystyle r\geq R(t)}$.

В силу сохранения массы закон обратных квадратов требует, чтобы радиально направленная скорость ${\displaystyle u(r,t)}$ была обратно пропорциональна квадрату расстояния от начала координат (центра пузырька)^[6]. Поэтому, пусть ${\displaystyle F(t)}$ есть некоторая функция времени,

${\displaystyle u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}}$.

В случае нулевого переноса массы через поверхность пузырька скорость на границе раздела должна быть равна

${\displaystyle u(R,t)={\frac {dR}{dt}}={\frac {F(t)}{R^{2}}}}$,

откуда

${\displaystyle F(t)=R^{2}dR/dt}$.

В случае переноса массы её скорость увеличения внутри пузыря определяется выражением

${\displaystyle {\frac {dm_{V}}{dt}}=\rho _{V}{\frac {dV}{dt}}=\rho _{V}{\frac {d(4\pi R^{3}/3)}{dt}}=4\pi \rho _{V}R^{2}{\frac {dR}{dt}},}$

где ${\displaystyle V}$ — это объём пузыря. Если ${\displaystyle u_{L}}$ — скорость жидкости относительно пузырька при ${\displaystyle r=R}$, то масса, поступающая в пузырек, определяется выражением

${\displaystyle {\frac {dm_{L}}{dt}}=\rho _{L}Au_{L}=\rho _{L}(4\pi R^{2})u_{L}}$.

Здесь ${\displaystyle A}$ — это площадь поверхности пузыря. В силу сохранения массы ${\displaystyle dm_{v}/dt=dm_{L}/dt}$, поэтому ${\displaystyle u_{L}=(\rho _{V}/\rho _{L})dR/dt}$. Следовательно

${\displaystyle u(R,t)={\frac {dR}{dt}}-u_{L}={\frac {dR}{dt}}-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}{\frac {dR}{dt}}=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right){\frac {dR}{dt}}}$.

Таким образом, получаем

${\displaystyle F(t)=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right)R^{2}{\frac {dR}{dt}}}$.

Во многих случаях плотность жидкости значительно превышает плотность пара ${\displaystyle \rho _{L}\gg \rho _{V}}$, так что ${\displaystyle F(t)}$ может быть аппроксимирована исходной формой нулевого массопереноса ${\displaystyle F(t)=R^{2}dR/dt}$, так что^[6]

${\displaystyle u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}={\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}}$.

Полагая, что жидкость представляет собой ньютоновскую жидкость, несжимаемое уравнение Навье-Стокса в сферических координатах для движения в радиальном направлении, получаем

${\displaystyle \rho _{L}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)=-{\frac {\partial P}{\partial r}}+\mu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]}$.

Замена кинематической вязкости ${\displaystyle \nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}}$ и перестановка даёт

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}-\nu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]}$.

При этом подставляя ${\displaystyle u(r,t)}$ из условия сохранения массы, получаем

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {2R}{r^{2}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}={\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}$.

Стоит отметить, что вязкие члены исчезают во время замены^[6]. Разделение переменных и интегрирование от границы пузырька ${\displaystyle r=R}$ к ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$ даёт

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}\int _{P(R)}^{P(\infty )}dP=\int _{R}^{\infty }\left[{\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]dr}$

${\displaystyle {{\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}=\left[-{\frac {1}{r}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)+{\frac {R^{4}}{2r^{4}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]_{R}^{\infty }=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}}$

Пусть ${\displaystyle \sigma _{rr}}$ — нормальное напряжение в жидкости, направленное радиально наружу от центра пузырька. В сферических координатах для жидкости постоянной плотности и постоянной вязкости

${\displaystyle \sigma _{rr}=-P+2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}}$.

Следовательно, на некотором небольшом участке поверхности пузырька результирующая сила, действующая на пластинку, на единицу площади равна

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}(R)+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}&=-P(R)+\left.2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}\\&=-P(R)+2\mu _{L}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}\right)_{r=R}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}\\&=-P(R)-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}},\\\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \sigma }$ — это поверхностное натяжение^[6]. Если массопереноса через границу нет, то эта сила на единицу площади должна быть равна нулю, следовательно

${\displaystyle P(R)=P_{B}-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2\sigma }{R}}}$.

И поэтому результат сохранения импульса становится

${\displaystyle {\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}={\frac {P_{B}-P_{\infty }}{\rho _{L}}}-{\frac {4\mu _{L}}{\rho _{L}R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}$

тем самым переставляя и заменяя ${\displaystyle \nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}}$, получаем уравнение Рэлея — Плессета^[6]

${\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}}$

Используя точечную запись для представления производных по времени, уравнение Рэлея — Плессета можно записать как:

${\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\ddot {R}}+{\frac {3}{2}}({\dot {R}})^{2}+{\frac {4\nu _{L}{\dot {R}}}{R}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}}$

В 2014 году были найдены аналитические решения в замкнутой форме для уравнения Рэлея — Плессета как для пустого, так и для газонаполненного пузырька^[7] и были обобщены на N-мерный случай^[8]. Также был изучен случай, когда поверхностное натяжение возникает за счёт эффекта капиллярности^[8][9].

Кроме того, для частного случая, когда пренебрегают поверхностным натяжением и вязкостью, также известны аналитические аппроксимации высокого порядка^[10].

В статическом случае уравнение Рэлея — Плессета упрощается, преобразуясь к уравнению Юнга — Лапласа^[англ.]:

${\displaystyle P_{B}-P_{\infty }={\frac {2\sigma }{R}}}$.

Когда рассматриваются только бесконечно малые периодические колебания радиуса и давления пузырька, уравнение Рэлея — Плессета также даёт выражение собственной частоты колебаний пузырька.