Уравнение Льенара

Уравнение Льенара — дифференциальное уравнение, часто использующееся в теории колебаний и динамических систем. Названо в честь французского физика А. Льенара.

Определение

Пусть и  — две вещественные непрерывно-дифференцируемые функции, причём  — нечётная функция, а  — чётная. Тогда уравнение вида

называется уравнением Льенара.[1]

Кроме того, уравнение Льенара можно[2][3] свести к дифференциальному уравнению первого порядка, сделав замену . Тогда уравнение Льенара преобразуется в уравнение Абеля второго типа:

Примеры

  • Осциллятор Ван дер Поля имеет вид уравнения Льенара при .

Связанные определения

Система Льенара

Уравнение Льенара может быть преобразовано в систему дифференциальных уравнений.

Пусть

;
;
.

Тогда система вида

называется системой Льенара.

Теорема Льенара

Система Льенара имеет единственный и устойчивый предельный цикл около начала координат, если система удовлетворяет следующим трём свойствам:

  • для всех ;
  • имеет только один положительный корень при некотором значении параметра , причём
при и
и монотонна при .

См. также

Примечания

  1. Liénard, A. (1928) "Etude des oscillations entretenues, " Revue générale de l'électricité 23, pp. 901—912 and 946—954.
  2. Liénard equation Архивная копия от 2 июня 2012 на Wayback Machine at eqworld.
  3. Abel equation of the second kind Архивная копия от 2 июня 2012 на Wayback Machine at eqworld.