Уравнение Льенара — дифференциальное уравнение, часто использующееся в теории колебаний и динамических систем. Названо в честь французского физика А. Льенара.
Пусть f {\displaystyle f} и g {\displaystyle g} — две вещественные непрерывно-дифференцируемые функции, причём g {\displaystyle g} — нечётная функция, а f {\displaystyle f} — чётная. Тогда уравнение вида
называется уравнением Льенара.[1]
Кроме того, уравнение Льенара можно[2][3] свести к дифференциальному уравнению первого порядка, сделав замену v = d x d t {\displaystyle v={dx \over dt}} . Тогда уравнение Льенара преобразуется в уравнение Абеля второго типа: v d v d x + f ( x ) v + g ( x ) = 0 {\displaystyle v{dv \over dx}+f(x)v+g(x)=0}
Уравнение Льенара может быть преобразовано в систему дифференциальных уравнений.
Пусть
Тогда система вида
называется системой Льенара.
Система Льенара имеет единственный и устойчивый предельный цикл около начала координат, если система удовлетворяет следующим трём свойствам: